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Quotientenraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:39 So 12.08.2012
Autor: quasimo

Aufgabe
Skript: Für einen Teilraum W eines Vektorraum V gilt V/W = [mm] \{0\}genau [/mm] dann wenn V=W
Es gilt stets [mm] V/\{0\} [/mm] = V


Servus,
Die zwei Sachen verstehe ich nicht ganz.

V/W = [mm] \{0\} [/mm]

v ~ v' <=> v' - v [mm] \in [/mm]  W


LG




        
Bezug
Quotientenraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 So 12.08.2012
Autor: Salamence

Hallo!

> Skript: Für einen Teilraum W eines Vektorraum V gilt V/W =
> [mm]\{0\}genau[/mm] dann wenn V=W
>  Es gilt stets [mm]V/\{0\}[/mm] = V
>  
> Servus,
>  Die zwei Sachen verstehe ich nicht ganz.
>  
> V/W = [mm]\{0\}[/mm]
>  
> v ~ v' <=> v' - v [mm]\in[/mm]  W
>  
>
> LG
>  
>
>  

Was verstehst du denn nicht? Warum das so ist?
1) Sei V/W=0
Dann gilt für jedes v und w in V:
v [mm] \equiv [/mm] w mod W
also v-w [mm] \in [/mm] W
inbesondere v-0=v [mm] \in [/mm] W für jedes v in V
Damit V=W
2) Sei V=W. Dann ist jedes v [mm] \in [/mm] V auch in W
also v [mm] \equiv [/mm] 0 mod W, also V/W=0

3) Für zwei Vektoren [mm] v,w\in [/mm] V gilt:
v [mm] \equiv [/mm] w mod 0 [mm] \gdw [/mm] v-w=0 [mm] \gdw [/mm] v=w
[mm] \Rightarrow [/mm] V/0=V

LG

Bezug
                
Bezug
Quotientenraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 Fr 17.08.2012
Autor: quasimo

Hallo, danke für die Antwort
Ich habe eine Frage dazu.

> Hallo!
>  
> > Skript: Für einen Teilraum W eines Vektorraum V gilt V/W =
> > [mm]\{0\}genau[/mm] dann wenn V=W
>  >  Es gilt stets [mm]V/\{0\}[/mm] = V
>  >  
> > Servus,
>  >  Die zwei Sachen verstehe ich nicht ganz.
>  >  
> > V/W = [mm]\{0\}[/mm]
>  >  
> > v ~ v' <=> v' - v [mm]\in[/mm]  W
>  >  
> >
> > LG
>  >  
> >
> >  

> Was verstehst du denn nicht? Warum das so ist?
> 1) Sei V/W=0
> Dann gilt für jedes v und w in V:
>  v [mm]\equiv[/mm] w mod W
>  also v-w [mm]\in[/mm] W
>  inbesondere v-0=v [mm]\in[/mm] W für jedes v in V

Wieso ist v [mm] \in [/mm] W?

>  Damit V=W
>  2) Sei V=W. Dann ist jedes v [mm]\in[/mm] V auch in W
>  also v [mm]\equiv[/mm] 0 mod W, also V/W=0
>  
> 3) Für zwei Vektoren [mm]v,w\in[/mm] V gilt:
>  v [mm]\equiv[/mm] w mod 0 [mm]\gdw[/mm] v-w=0 [mm]\gdw[/mm] v=w
>  [mm]\Rightarrow[/mm] V/0=V
>  
> LG

LG


Bezug
                        
Bezug
Quotientenraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:01 Fr 17.08.2012
Autor: fred97


Allgemein: die Elemente von V/W bezeichne ich mit [x]  (x [mm] \in [/mm] V), also [mm] [x]=\{x+w: w \in W\}. [/mm]

Es gilt: [x]=[y]  [mm] \gdw [/mm] x-y [mm] \in [/mm] W

Wir haben: V/W={ [0] }. Wir wollen: V=W

W [mm] \subseteq [/mm] V ist klar.

Sei also v [mm] \in [/mm] V. Wegen  V/W={ [0] } ist [v]= [0], also ist v-0 [mm] \in [/mm] W, somit v [mm] \in [/mm] W.

Daher: V [mm] \subseteq [/mm] W.

FRED

Bezug
                                
Bezug
Quotientenraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:22 Fr 17.08.2012
Autor: quasimo

Danke,
Hammer gut erklärt ;)

LG

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