Quotientenraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab hier mal eine ganz dumme Frage zu dieser Aufgabe zu stellen. ich versteh nämlich die Lösung nicht.
Aufgabe: Es sei V = [mm] \IR [/mm] ^{2} und U = L((1,1)). Man beschreibe die Elemente von V/U und bestimme eine Basis von V/U.
Es gilt ja: V/U = { a+U | a [mm] \in [/mm] V} = { a + L((1,1)) | a [mm] \in \IR [/mm] ^{2}}.
Als Lösung steht: díe Elemente von V/U sind Geraden parallel zu L((1,1)). Woran erkennt man denn das?
Dann steht dass dim V/U = 1 ist. Wie kommt man drauf? Was ist denn die Dimension von U. L(1,1) soll die lineare Hülle sein, also die Menge aller Linearkombinationen. Und wegen dim V/U = 1 ist jedes vom Nullvektor (= L((1,1))) versch. Element aus V/U Basis von V/U, also z.B. (1,0) + L((1,1)).
Ich versteh leider die komplette Lösung nicht. Ich hoffe es kann mir jemand erklären, wie man da draufkommt.
Danke, Moe007
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Do 17.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Moe007!
> Aufgabe: Es sei V = [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
^{2} und U = L((1,1)). Man
> beschreibe die Elemente von V/U und bestimme eine Basis von
> V/U.
>
> Es gilt ja: V/U = { a+U | a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V} = { a + L((1,1)) | a [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ^{2}}.
Das ist die Definition, richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Als Lösung steht: díe Elemente von V/U sind Geraden
> parallel zu L((1,1)). Woran erkennt man denn das?
Nun ja. Du weißt doch aus der Schule, dass $\vec{a} + \lambda \cdot (1,1)^T$ ($\lambda \in \IR$) eine Gerade ist mit "Stützvektor" $a$ und "Richtungsvektor" $(1,1)^T$. Aber $a + L((1,1))$ ist nichts anderes, nur eine andere Schreibweise dafür.
> Dann steht dass dim V/U = 1 ist. Wie kommt man drauf?
Naja, du hast ja nur einen freien Parameter, nämlich den zu wählenden Stützvektor $\vec{a}$.
Mathematischer: Es gilt immer $\dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U)$, und hier ist $\dim(V)=2$ und $\dim(U)=1$.
> Was > ist denn die Dimension von U. L(1,1) soll die lineare Hülle
> sein, also die Menge aller Linearkombinationen.
$L((1,1))$ beinhaltet alle reellen Vielfachen von $(1,1)^T$. Die Linearkombinationen haben hier nur einen Vektor und ein Skalar.
> Und wegen
> dim V/U = 1 ist jedes vom Nullvektor (= L((1,1))) versch.
> Element aus V/U Basis von V/U, also z.B. (1,0) +
> L((1,1)).
Das ist richtig. In einem Vektorraum der Dimension $1$ ist jeder Vektor (außer dem Nullvektor) eine Basis.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
