Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:01 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Qumega |
| Aufgabe | Wenden Sie das passende Kriterium (Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium) an der folgenden Reihe an um deren Konvergenz zu beweisen.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}k^2*(\bruch {1-i}{2+i})^k [/mm] |
Hallo,
ich habe Probleme die oben genannte Aufgabe zu lösen. Hier ist mein Ansatz:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} k^2*(1-i/2+i)^k
[/mm]
Quotientenkriterium:
[mm] \bruch{a_k_+_1}{a_k}\le [/mm] q [mm] q\in(0,1) [/mm] dann konveriert die Folge absolut
[mm] \bruch{a_k_+_1}{a_k}\ge [/mm] 1 für alle [mm] k\in\IN_0 [/mm] dann divergiert die Folge
Da es eine geometrische Reihe ist habe ich mir gedacht das ich den Faktor [mm] k^2 [/mm] für meine berechnung einfach "weglasse" und nur mit dem Teil [mm] (\bruch {1-i}{2+i})^k [/mm] arbeite.
Hier die berechnung: [mm] \bruch {(\bruch {1-i}{2+i})^{k+1}}{(\bruch {1-i}{2+i})^k} [/mm] = [mm] \bruch {(1-i)^{k+1}}{(2+i)^{k+1}} [/mm] * [mm] \bruch {(2+i)^k}{(1-i)^k} [/mm] = [mm] \bruch {(1-i)^k(1-i)^1(2+i)^k}{(2+i)^k(2+i)^1(1-i)^k} [/mm] = [mm] \bruch{1-i}{2+i}
[/mm]
Die Antwort [mm] \bruch{1-i}{2+i} [/mm] kann aber nicht größer oder kleiner irgendetwas sein da es sich ja um imaginäre Zahlen handelt.
Jetzt bin ich irgendwie wieder am Anfang der Aufgabe. Ich bin mir sicher das ich irgendwas falsch mache. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
Vielen Dank schonmal im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Mo 18.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wenden Sie das passende Kriterium (Quotientenkriterium oder
> Wurzelkriterium) an der folgenden Reihe an um deren
> Konvergenz zu beweisen.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{infty} k^2*(\bruch {1-i}{2+i})^k[/mm]
>
> Wenden Sie das passende Kriterium (Quotientenkriterium oder
> Wurzelkriterium) an der folgenden Reihe an um deren
> Konvergenz zu beweisen.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{infty} k^2*(\bruch {1-i}{2+i})^k[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe Probleme die oben genannte Aufgabe zu lösen. Hier
> ist mein Ansatz:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{infty} k^2*(1-i/2+i)^k[/mm]
>
> Quotientenkriterium:
>
> [mm]\bruch{a_k_+_1}{a_k}\le[/mm] q [mm]q\in(0,1)[/mm] dann konveriert die
> Folge absolut
Wo sind die Beträge ???
>
> [mm]\bruch{a_k_+_1}{a_k}\ge[/mm] 1 für alle [mm]k\in\IN_0[/mm] dann
Wo sind die Beträge ???
> divergiert die Folge
>
> Da es eine geometrische Reihe ist
Ist es nicht !
> habe ich mir gedacht das
> ich den Faktor [mm]k^2[/mm] für meine berechnung einfach "weglasse"
das würde ich nicht tun !
> und nur mit dem Teil [mm](\bruch {1-i}{2+i})^k[/mm] arbeite.
>
> Hier die berechnung: [mm]\bruch {(\bruch {1-i}{2+i})^{k+1}}{(\bruch {1-i}{2+i})^k}[/mm]
> = [mm]\bruch {(1-i)^{k+1}}{(2+i)^{k+1}}[/mm] * [mm]\bruch {(2+i)^k}{(1-i)^k}[/mm]
> = [mm]\bruch {(1-i)^k(1-i)^1(2+i)^k}{(2+i)^k(2+i)^1(1-i)^k}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-i}{2+i}[/mm]
>
> Die Antwort [mm]\bruch{1-i}{2+i}[/mm] kann aber nicht größer oder
> kleiner irgendetwas sein da es sich ja um imaginäre Zahlen
> handelt.
Es ist [mm] a_k:= k^2*$ (\bruch {1-i}{2+i})^k [/mm] $
dann ist [mm] \bruch{|a_{k+1}|}{|a_k|}=\bruch{(k+1)^2}{k^2}\bruch{1-i}{2+i}
[/mm]
Edit: Schande über mich. Jetzt hab ich selbst Beträge vergessen !
Richtig ist : [mm]\bruch{|a_{k+1}|}{|a_k|}=\bruch{(k+1)^2}{k^2}\bruch{|1-i|}{|2+i|}[/mm]
>
FRED
>
> Jetzt bin ich irgendwie wieder am Anfang der Aufgabe. Ich
> bin mir sicher das ich irgendwas falsch mache. Ich hoffe
> Ihr könnt mir helfen.
>
> Vielen Dank schonmal im Voraus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Qumega |
Hallo Fred,
erstmal vielen vielen Dank für die Antwort. Den Betrag hat unser Dozent in der Übungsaufgabe einfach weggelassen deshalb habe ich Ihn "vergessen".
Ich bin mir aber immer noch nicht sicher wie ich jetzt
[mm] \bruch{|a_{k+1}|}{|a_k|}=\bruch{(k+1)^2}{k^2}\bruch{1-i}{2+i} [/mm]
weiter bearbeiten kann, bzw. wie ich bestimmen kann ob das jetzt [mm] \ge [/mm] 1 oder [mm] \le [/mm] q ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Mo 18.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> erstmal vielen vielen Dank für die Antwort. Den Betrag hat
> unser Dozent in der Übungsaufgabe einfach weggelassen
> deshalb habe ich Ihn "vergessen".
Wen hast Du vergessen ? Den Betrag oder den Dozenten ?
>
> Ich bin mir aber immer noch nicht sicher wie ich jetzt
>
> [mm]\bruch{|a_{k+1}|}{|a_k|}=\bruch{(k+1)^2}{k^2}\bruch{1-i}{2+i}[/mm]
Oh, ich sehe gerade ich hab selbst Beträge vergessen ! Richtig ist:
[mm]\bruch{|a_{k+1}|}{|a_k|}=\bruch{(k+1)^2}{k^2}\bruch{|1-i|}{|2+i|}[/mm]
>
> weiter bearbeiten kann, bzw. wie ich bestimmen kann ob das
> jetzt [mm]\ge[/mm] 1 oder [mm]\le[/mm] q ist.
Berechne zunächst [mm] \bruch{|1-i|}{|2+i|} [/mm] und lasse dann k [mm] \to \infty [/mm] gehen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Qumega |
So hier ist meine Berechnung und Antwort. Ich hoffe das ist so korrekt. Falls nicht freue ich mich natürlich über eine Korrektur.
[mm] \bruch{|1-i|}{|2+i|} [/mm] Multipliezieren mit dier komplexen Konjugierte von 2+i (2-i)
[mm] \bruch{|1-i|}{|2+i|} [/mm] * [mm] \bruch{2-i}{2-i} [/mm] = [mm] \bruch{|1-3i|}{|5|} [/mm]
Für den nächsten Schritt musste ich WolphramAlpha benutzen. Ich wusste nicht wie man darauf kommt. Ich nehme an das kommt mit der Übung?
|1-3i| = [mm] \wurzel{Re(1-3i)^2+Im(1-3i)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{10}
[/mm]
----> [mm] \bruch{|1-3i|}{|5|} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{10}}{5}
[/mm]
[mm] \bruch{(k+1)^2}{k^2} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{10}}{5} [/mm] k [mm] \rightarrow \infty [/mm] = 1 * [mm] \bruch{\wurzel{10}}{5} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{10}}{5}
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{10}}{5} [/mm] ist größer 0 kleiner 1
Also ist [mm] \bruch{a_k_+_1}{a_k} \le [/mm] q q [mm] \in [/mm] |0,1| Das bedeutet die Reihe konvergiert absolut
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Hallo Qumega, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> So hier ist meine Berechnung und Antwort. Ich hoffe das ist
> so korrekt. Falls nicht freue ich mich natürlich über
> eine Korrektur.
>
> [mm]\bruch{|1-i|}{|2+i|}[/mm] Multipliezieren mit dier komplexen
> Konjugierte von 2+i (2-i)
Ein möglicher, aber hier vollkommen unnötiger Schritt. Es geht doch nur darum, die beiden Beträge auszurechnen. Aber egal.
> [mm]\bruch{|1-i|}{|2+i|}[/mm] * [mm]\bruch{2-i}{2-i}[/mm] =
> [mm]\bruch{|1-3i|}{|5|}[/mm]
So, jetzt sieht es einfacher aus. An dieser Stelle solltest Du den Betrag von [mm] \tfrac{1}{5}|1-3i| [/mm] direkt berechnen.
Weißt Du, wie der Betrag einer komplexen Zahl definiert ist?
> Für den nächsten Schritt musste ich WolphramAlpha
> benutzen. Ich wusste nicht wie man darauf kommt.
Ah, Du wusstest es nicht. Das gehört zum elementaren Handwerkszeug im Umgang mit komplexen Zahlen. Also lern es, dringend.
> Ich nehme
> an das kommt mit der Übung?
>
> |1-3i| = [mm]\wurzel{Re(1-3i)^2+Im(1-3i)^2}[/mm] = [mm]\wurzel{10}[/mm]
>
>
> ----> [mm]\bruch{|1-3i|}{|5|}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{10}}{5}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{(k+1)^2}{k^2}[/mm] * [mm]\bruch{\wurzel{10}}{5}[/mm] k [mm]\rightarrow \infty[/mm]
> = 1 * [mm]\bruch{\wurzel{10}}{5}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{10}}{5}[/mm]
Die Formeldarstellung lässt noch zu wünschen übrig, aber ich steige jetzt gerade mal nicht auf LaTeX ein. Mir ist klar, was Du damit sagen willst...
> [mm]\bruch{\wurzel{10}}{5}[/mm] ist größer 0 kleiner 1
...und das ist richtig. Besser als Kette: [mm] 0<\bruch{\wurzel{10}}{5}<1
[/mm]
> Also ist [mm]\bruch{a_k_+_1}{a_k} \le[/mm] q q [mm]\in[/mm] |0,1| Das
> bedeutet die Reihe konvergiert absolut
Richtig.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Qumega |
Danke für die schnelle Antwort. Obwohl ich schlecht in Mathematik bin fängt es an Spaß zu machen wenn man irgendwann die richtige Antwort bekommt.
Liebe Grüße
Qumega
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Mo 18.11.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Qumega,
> Danke für die schnelle Antwort. Obwohl ich schlecht in
> Mathematik bin
Danach sah es bisher noch gar nicht aus.
> fängt es an Spaß zu machen wenn man
> irgendwann die richtige Antwort bekommt.
Glaub mir, noch mehr Spaß macht es, wenn man sie irgendwann selbst findet. Aber das braucht halt ein bisschen Übung, und dafür ist so ein Forum ja da.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Di 19.11.2013 | | Autor: | Qumega |
Ich hätte nochmal eine Frage zu Folgen. Angenommen ich habe diese Folge:
[mm] \summe_{x=1}^{\infty} (\wurzel {x+1}-\wurzel{x})
[/mm]
Und ich möchte zwei Sachen wissen:
1. Konvergiert oder Divergiert die Folge
2. Was ist der Grenzwert.
1. Meistens mache ich mir eine Tabelle und berechne die ersten paar glieder.
Beispiel:
k=1 [mm] \wurzel{2}-1 \approx [/mm] 0.414
k=2 [mm] \wurzel{3}-\wurzel{2} \approx [/mm] 0.318
k=3 [mm] 2-\wurzel{3} \approx [/mm] 0.268
k=4 [mm] \wurzel{5}-2 \approx [/mm] 0.236
k=5 [mm] \wurzel{6}-\wurzel{5} \approx [/mm] 0.213
[mm] k=50^{55} \wurzel{50^{55}+1}-\wurzel{50^{55}} \approx [/mm] 0
Da die Teilfolge eine Nullfolge ergibt konvergiert die Folge. Wie aber finde ich jetzt deren Grenzwert. Ist mein weg um konvergenz herauszufinden zu umständlich?
Vielen Dank.
LG.
Qumega
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Di 19.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Qumega!
Deine Methode zur Bestimmung der Konvergenz ist weder ausreichend noch korrekt.
Für die Konvergenz einer Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}a_n$ [/mm] ist es ein notwendiges Kriterium, dass [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Aber selbst mit [mm] $a_n$ [/mm] als Nullfolge kann es sein, dass die Reihe divergiert (Klassiker-Beispiel: die harmonische Reihe [mm] $\summe\tfrac{1}{n}$ [/mm] ).
Jedoch kann man als Umkehrung sagen: ist [mm] $a_n$ [/mm] keine Nullfolge, divergiert die zugehörige Reihe [mm] $\summe a_n$ [/mm] .
Für die Bestimmung (eines eventuell vorhandenen) Grenzwertes gibt es leider kein Allheilrezept.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Di 19.11.2013 | | Autor: | Qumega |
Hallo Loddar,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Wie würde ich dann diese Aufgabe angehen:
[mm] \summe_{x=1}^{\infty} (\wurzel {x+1}-\wurzel{x})
[/mm]
Wir haben letztens gelernt eine andere Reihe zum vergleich zu nehmen um zu sehen wie diese sich verhält. Ich weiß aber nicht welcher Reihe diese Reihe ähnelt.
Alternativ habe ich mir überlegt das Wurzelkriterium anzuwenden:
Wenn [mm] \wurzel[k]{a_k} \le [/mm] q q [mm] \in [/mm] (0,1) dann konvergiert die Reihe absolut
Wenn [mm] \wurzel[k]{a_k} \ge [/mm] 1 dann divergiert die Reihe
Ich bin mir aber auch nicht sicher wie ich das anwende. Tut mir leid ich bin ziemlich schlecht in Mathe. Vielleicht kannst du mir einen Tip geben.
Liebe Grüße
Qumega
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Di 19.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Loddar,
>
> vielen Dank für die schnelle Antwort. Wie würde ich dann
> diese Aufgabe angehen:
>
> [mm]\summe_{x=1}^{\infty} (\wurzel {x+1}-\wurzel{x})[/mm]
Schreibe besser: [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel {n+1}-\wurzel{n})[/mm]
Tipps:
sei [mm] a_n:=\wurzel {n+1}-\wurzel{n}
[/mm]
1. Es ist [mm] a_n=\bruch{(\wurzel {n+1}-\wurzel{n})*(\wurzel {n+1}+\wurzel{n})}{\wurzel {n+1}+\wurzel{n}}
[/mm]
Rechne das mal aus.
2. Zeige [mm] a_n \ge \bruch{1}{2*\wurzel{n+1}}
[/mm]
FRED
>
> Wir haben letztens gelernt eine andere Reihe zum vergleich
> zu nehmen um zu sehen wie diese sich verhält. Ich weiß
> aber nicht welcher Reihe diese Reihe ähnelt.
>
> Alternativ habe ich mir überlegt das Wurzelkriterium
> anzuwenden:
>
> Wenn [mm]\wurzel[k]{a_k} \le[/mm] q q [mm]\in[/mm] (0,1) dann konvergiert
> die Reihe absolut
> Wenn [mm]\wurzel[k]{a_k} \ge[/mm] 1 dann divergiert die Reihe
>
> Ich bin mir aber auch nicht sicher wie ich das anwende. Tut
> mir leid ich bin ziemlich schlecht in Mathe. Vielleicht
> kannst du mir einen Tip geben.
>
> Liebe Grüße
>
> Qumega
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Di 19.11.2013 | | Autor: | Qumega |
Hier meine Berechnung:
[mm] \bruch {(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})\times (\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}{ (\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch {(\wurzel{n+1}\times\wurzel{n+1})+(\wurzel{n}\times\wurzel{n+1})-(\wurzel{n}\times\wurzel{n+1})-n}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)+(n^{\bruch {1}{2}}\times(n+1)^{\bruch{1}{2}})-n^{\bruch {1}{2}}\times(n+1)^{\bruch {1}{2}}-n}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}
[/mm]
aber wie kann ich jetzt zeigen das
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} \ge \bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{n+1}}
[/mm]
und was würde mir das helfen?
LG
Qumega
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Hallo Q,
> Hier meine Berechnung:
>
> [mm]\bruch {(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})\times (\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}{ (\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}[/mm]
Schneller: dritte binomische Formel im Zähler 
> = [mm]\bruch {(\wurzel{n+1}\times\wurzel{n+1})+(\wurzel{n}\times\wurzel{n+1})-(\wurzel{n}\times\wurzel{n+1})-n}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{(n+1)+(n^{\bruch {1}{2}}\times(n+1)^{\bruch{1}{2}})-n^{\bruch {1}{2}}\times(n+1)^{\bruch {1}{2}}-n}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> aber wie kann ich jetzt zeigen das
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} \ge \bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{n+1}}[/mm]
Na, es ist doch [mm]\sqrt{n}\le\sqrt{n+1}[/mm], also [mm]\frac{1}{\sqrt{n}}\ge\frac{1}{\sqrt{n+1}}[/mm]
Damit [mm]\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\ge\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}}=\frac{1}{2\sqrt{n+1}}[/mm]
>
> und was würde mir das helfen?
Geklärt war doch oben schon, dass die Reihe divergent ist.
Du suchst also nach einer divergenten Minorante, also einer kleineren Reihe als deine Ausgangsreihe, von der bekannt ist, dass sie divergiert.
Dann bleibt deiner kleineren Ausgangsreihe ja nix anderes übrig als auch zu divergieren.
Du hast nun [mm]\sum\limits_{n\ge 1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \ \ge \ \sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{2\sqrt{n+1}} \ = \ \frac{1}{2}\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt{n+1}}[/mm]
Was weißt du über das Konvergenzverhalten der Reihen des Typs [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^s}[/mm], insbes. die Fälle [mm]s>1, s=1, s<1[/mm] ...
>
> LG
>
> Qumega
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Di 19.11.2013 | | Autor: | Qumega |
"Was weißt du über das Konvergenzverhalten der Reihen des Typs $ [mm] \sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^s} [/mm] $, insbes. die Fälle $ s>1, s=1, s<1 $ ... "
Das ist die verallgemeinerte harmonische reihe
[mm] \sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^s} n\in \IN
[/mm]
konvergiert für alle s > 1
divergiert für s [mm] \le [/mm] 1
"Du suchst also nach einer divergenten Minorante, also einer kleineren Reihe als deine Ausgangsreihe, von der bekannt ist, dass sie divergiert.
Dann bleibt deiner kleineren Ausgangsreihe ja nix anderes übrig als auch zu divergieren. "
Die Aussage verstehe ich nicht ganz. Ich muss also eine kleinere Reihe finden die ebenfalls divergiert dann muss meine auch divergieren?
LG
Qumega
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Di 19.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Ja, das hast du richtig verstanden.
Betrachte [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] mit [mm] a_n\in\IC.
[/mm]
Sei nun [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] divergent.
Gilt nun [mm] a_n\ge b_n [/mm] für fast alle n, dann divergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n.
[/mm]
Das ist das Majorantenkriterium umgekehrt und man bezeichnet es als das Minorantenkriterium.
schachuzipus hat dir ja schon die Ungleichung gezeigt. Vergiss aber nicht, dass du noch zeigen musst, dass [mm] a_n\ge \bruch{1}{2(n+1)} [/mm] gilt.
[mm] \sum\limits_{n\ge 1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \ge \sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{2\sqrt{n+1}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt{n+1}}
[/mm]
Tipp: [mm] \bruch{1}{\sqrt{n+1}} [/mm] umschreiben! Wie kannst du allgemein [mm] \sqrt{n} [/mm] umschreiben ?
Gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Di 19.11.2013 | | Autor: | Qumega |
Okay vielen Dank! Das habe ich jetzt soweit verstanden. Wie aber bestimme ich jetzt den Grenzwert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Di 19.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hi,
ich glaube, dass du das nicht verstanden hast.
Deine Reihe konvergiert eben nicht, sie divergiert!
In deiner Aufgabe ist auch nur nach der Konvergenz/Divergenz gefragt und nicht nach dem Grenzwert.
Allgemein gilt:
Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] mit [mm] a_n\in\IC [/mm] konvergiert genau dann wenn ihre Partialsummenfolge konvergiert.
[mm] S_1:=a_1
[/mm]
[mm] S_2:=a_1+a_2
[/mm]
...
[mm] S_N:=\summe_{n=1}^{N}a_n
[/mm]
[mm] (S_N)_{N\in\IN} [/mm] heißt die Partialsummenfolge. Erst wenn diese konvergiert gilt: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n=\limes_{N\rightarrow\infty}S_N=\limes_{N\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{N}a_n
[/mm]
Kommen wir nun zurück zu deiner Aufgabe. Zeig uns wie weit du bist, dann können wir dir weiterhelfen.
Gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Di 19.11.2013 | | Autor: | Qumega |
Hi danke erstmal für die vielen Antworten. Das hilft mir wirklich sehr! Die exakte Aufgabenstellung lautet:
Entscheiden Sie für jede Reihe, ob sie absolut konvergiert, bedingt konvergiert oder divergiert. Bei welchem Grenzwert können Sie den Grenzwert direkt oder mit Hilfe der schon bekannten Reihen bestimmen?
Die drei Aufgaben:
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2k+2^{k}}{4^{k}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\wurzel{k+1}-\wurzel{k})
[/mm]
Meine bearbeitung zu Aufgabe A und B sind nachdem ich jetzt gesehen habe was ich alles in Aufgabe C falsch gemacht habe sicher nicht richtig.
a) Ich habe versucht das Quotientenkriterium anzuwenden
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2k+2^{k}}{4^{k}}
[/mm]
Quotientenkriterium q [mm] \ge \bruch{|a_k_+_1|}{|a_k|}\ge [/mm] 1 q [mm] \in [/mm] |0,1|
[mm] \bruch{\bruch {|2(k+1)+2^{k+1}|}{|4^{k+1}|}}{\bruch{|2k+2^{k}|}{|4^{k}|}} [/mm] = [mm] \bruch{2^{k}+2k+4}{4(2k+2^{k})} [/mm] = doch wie rechne ich jetzt weiter? Wenn ich k [mm] \to \infty [/mm] gehen lasse dann bekomme ich doch [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] oder?
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k}}
[/mm]
Sieht für mich ähnlich wie die alternierende harmonische Reihe aus. Diese konvergiert gegen ln(2)
Wenn ich das richtig verstanden habe ist die alternierende harmonische Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k+1}}{k} [/mm] eine konvergente Majorante von [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k}} [/mm] oder habe ich das komplett falsch verstanden?
c) Hier ist was ich bisher mit eurer Hilfe habe:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\wurzel{k+1}-\wurzel{k})
[/mm]
sei [mm] a_k=\wurzel{k+1}-\wurzel{k} [/mm]
[mm] a_k=\bruch{(\wurzel {k+1}-\wurzel{k})\cdot{}(\wurzel {k+1}+\wurzel{k})}{\wurzel {k+1}+\wurzel{k}} [/mm] = $ [mm] \bruch {(\wurzel{k+1}-\wurzel{k})\times (\wurzel{k+1}+\wurzel{k})}{ (\wurzel{k+1}+\wurzel{k}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch {(\wurzel{k+1}\times\wurzel{k+1})+(\wurzel{k}\times\wurzel{k+1})-(\wurzel{k}\times\wurzel{k+1})-n}{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(k+1)+(k^{\bruch {1}{2}}\times(k+1)^{\bruch{1}{2}})-k^{\bruch {1}{2}}\times(k+1)^{\bruch {1}{2}}-k}{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}} [/mm] $
$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}} \ge \bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{k+1}} [/mm] $
Antwort von schachuzipus warum die Aussage oben stimmt.
"Na, es ist doch $ [mm] \sqrt{n}\le\sqrt{n+1} [/mm] $, also $ [mm] \frac{1}{\sqrt{n}}\ge\frac{1}{\sqrt{n+1}} [/mm] $
Damit $ [mm] \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\ge\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}}=\frac{1}{2\sqrt{n+1}} [/mm] $ "
"Du hast nun $ [mm] \sum\limits_{n\ge 1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{2\sqrt{n+1}} [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{2}\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt{n+1}} [/mm] $ "
[mm] \frac{1}{\sqrt{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(n+1)^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
Verallgemeinerte Harmonische Reihe= $ [mm] \sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^s} [/mm] $
Die Reihe divergiert für s [mm] \le [/mm] 1
Die Reihe konvergiert für s > 1
Die Reihe [mm] \frac{1}{2}\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt{n+1}} [/mm] divergiert also. Da diese Reihe eine divergente Minorante von [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\wurzel{k+1}-\wurzel{k}) [/mm] ist, divergiert auch Diese Reihe.
LG
Qumega
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Di 19.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Allgemein: Aus Absoluter Konvergenz folgt Konvergenz. Andersrum nicht! Nächstes mal bitte die ganze Aufgabe von Anfang an reinschreiben.
Eine Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] heißt absolut konvergent, falls [mm] \summe_{i=1}^{\infty}|a_n| [/mm] konvergiert.
Zu a)
Zunächst hast du am Ende einen Fehler gemacht, es muss heißen:
[mm] \bruch{\bruch {|2(k+1)+2^{k+1}|}{|4^{k+1}|}}{\bruch{|2k+2^{k}|}{|4^{k}|}} [/mm] = [mm] |\bruch{2(k+1)+2^{k+1}}{2k+2^{k}}|\cdot|\bruch{4^{k}}{4^{k+1}}|= |\bruch{2(k+1)+2^{k+1}}{2k+2^{k}}|\cdot \bruch{1}{4}=\bruch{2(k+1)+2^{k+1}}{4(2k+2^{k})}=\bruch{2k+2+2^{k+1}}{4(2k+2^k)}
[/mm]
Tipp: Bei dieser "Art" von Reihe würde ich lieber an das Wurzelkriterium denken.
Zu b)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k}} [/mm]
Ihr hattet mit Sicherheit das Leipnizkriterium.
Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine montone reelle Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^n\cdot a_n.
[/mm]
Zeige also, dass [mm] a_n:=\bruch{1}{\sqrt{n}} [/mm] eine monotone Nullfolge ist. Was ist nun mit der absoluten Konvergenz? Erklär das mal nochmal im Detail mit der von mir oben beschriebenen Definition der absoluten Konvergenz.
Zu c) richtig, damit konvergiert die Reihe absolut. Fehlt nur noch: Gegen was ? Siehe dazu abakus Antwort.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 19.11.2013 | | Autor: | Qumega |
a)
$ [mm] \bruch{\bruch {|2(k+1)+2^{k+1}|}{|4^{k+1}|}}{\bruch{|2k+2^{k}|}{|4^{k}|}} [/mm] $ = $ [mm] |\bruch{2(k+1)+2^{k+1}}{2k+2^{k}}|\cdot|\bruch{4^{k}}{4^{k+1}}|= |\bruch{2(k+1)+2^{k+1}}{2k+2^{k}}|\cdot \bruch{1}{4}=\bruch{2(k+1)+2^{k+1}}{4(2k+2^{k})}=\bruch{2k+2+2^{k+1}}{4(2k+2^k)} [/mm] $
Ich verstehe den Rechenweg nicht. Wenn ich im nenner einen Bruch habe dann kann ich doch den Zähler mit dem Reziprok multiplizieren oder? Dann sollte das doch eher so aussehen:
[mm] \bruch{\bruch {|2(k+1)+2^{k+1}|}{|4^{k+1}|}}{\bruch{|2k+2^{k}|}{|4^{k}|}} [/mm] = [mm] \bruch{|2(k+1)+2^{k+1}|}{|4^{k+1}|} \times \bruch{|4^{k}|}{|2k+2^{k}|}
[/mm]
b)
Zu zeigen ist das [mm] a_n=\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] eine monotone reelle nullfolge ist.
Folge: [mm] \bruch{1}{\wurzel{1}}, \bruch{1}{\wurzel{2}}, \bruch{1}{\wurzel{3}}, \bruch{1}{\wurzel{4}}......,\bruch{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
Die folge ist monoton fallend wenn [mm] a_n>a_n_+_1 [/mm] für alle n
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}>\bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] Diese ungleichung stimm für alle n (wie soll ich das aber beweisen?)
Zur definition der absoluten konvergenz:
Eine Reihe $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] $ heißt absolut konvergent, falls $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}|a_n| [/mm] $ konvergiert.
Das bedeutet also $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k}} [/mm] $ ist absolute konvergent wenn $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|(-1)^{k}|}{|\wurzel{k}|} [/mm] $ konvergiert.
Das macht sinn weil alternierende harmonische reihen konvergieren aber nicht absolut konvergieren.
Beispiel: die folge [mm] 1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{6}
[/mm]
konvergiert nicht absolut weil [mm] |1||-\bruch{1}{2}||+\bruch{1}{3}||-\bruch{1}{4}||+\bruch{1}{5}||-\bruch{1}{6}| [/mm] nicht konvergiert. Durch den Betrag wird die gleichung:
[mm] 1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6} [/mm] und divergiert.
Vielen Dank für die Hilfe!!
Qumega
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Di 19.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hi,
> a)
>
> [mm]\bruch{\bruch {|2(k+1)+2^{k+1}|}{|4^{k+1}|}}{\bruch{|2k+2^{k}|}{|4^{k}|}}[/mm]
> =
> [mm]|\bruch{2(k+1)+2^{k+1}}{2k+2^{k}}|\cdot|\bruch{4^{k}}{4^{k+1}}|= |\bruch{2(k+1)+2^{k+1}}{2k+2^{k}}|\cdot \bruch{1}{4}=\bruch{2(k+1)+2^{k+1}}{4(2k+2^{k})}=\bruch{2k+2+2^{k+1}}{4(2k+2^k)}[/mm]
>
> Ich verstehe den Rechenweg nicht. Wenn ich im nenner einen
> Bruch habe dann kann ich doch den Zähler mit dem Reziprok
> multiplizieren oder? Dann sollte das doch eher so
> aussehen:
>
> [mm]\bruch{\bruch {|2(k+1)+2^{k+1}|}{|4^{k+1}|}}{\bruch{|2k+2^{k}|}{|4^{k}|}}[/mm]
> = [mm]\bruch{|2(k+1)+2^{k+1}|}{|4^{k+1}|} \times \bruch{|4^{k}|}{|2k+2^{k}|}[/mm]
Das ist das gleiche. Ich wollte dich nur auf [mm] \bruch{4^k}{4^{k+1}}=\bruch{1}{4} [/mm] aufmerksam machen, daher habe ich das direkt so hingeschrieben. Ich habe dir aber den Tipp gegeben lieber das Wurzelkriterium zu benutzen.
Betrachte also [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|a_k|} [/mm] !
>
>
>
> b)
>
> Zu zeigen ist das [mm]a_n=\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] eine monotone
> reelle nullfolge ist.
>
> Folge: [mm]\bruch{1}{\wurzel{1}}, \bruch{1}{\wurzel{2}}, \bruch{1}{\wurzel{3}}, \bruch{1}{\wurzel{4}}......,\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>
> Die folge ist monoton fallend wenn [mm]a_n>a_n_+_1[/mm] für alle n
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}>\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm] Diese
> ungleichung stimm für alle n (wie soll ich das aber
> beweisen?)
Eine reellwerte Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] heißt streng monoton fallend, falls [mm] a_n>a_{n+1}\gdw a_n-a_{n+1}>0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt [mm] \Rightarrow [/mm] Induktion über n. Hier ist es aber sofort klar.
>
> Zur definition der absoluten konvergenz:
>
>
> Eine Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_n[/mm] heißt absolut
> konvergent, falls [mm]\summe_{i=1}^{\infty}|a_n|[/mm] konvergiert.
>
> Das bedeutet also [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k}}[/mm]
> ist absolute konvergent wenn [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|(-1)^{k}|}{|\wurzel{k}|}[/mm]
> konvergiert.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|(-1)^{k}|}{|\wurzel{k}|}=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k}}
[/mm]
Jetzt du. Tipp : Minorantenkriterium !
Wir wissen bislang nur, dass die Reihe konvergiert, wie sieht es nun mit der absoluten Konvergenz und dem Grenzwert aus ?
>
> Das macht sinn weil alternierende harmonische reihen
> konvergieren aber nicht absolut konvergieren.
>
> Beispiel: die folge
> [mm]1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{6}[/mm]
>
> konvergiert nicht absolut weil
> [mm]|1||-\bruch{1}{2}||+\bruch{1}{3}||-\bruch{1}{4}||+\bruch{1}{5}||-\bruch{1}{6}|[/mm]
> nicht konvergiert. Durch den Betrag wird die gleichung:
>
> [mm]1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}[/mm]
> und divergiert.
>
Bei c) fehlt noch immer der Grenzwert!
> Vielen Dank für die Hilfe!!
>
> Qumega
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Di 19.11.2013 | | Autor: | Qumega |
Vielen Dank! Ich arbeite sofort daran. Wie lange bist du noch online?
LG
Qumega
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Di 19.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Vielen Dank! Ich arbeite sofort daran.
Kein Problem. Tuh das, viel Spaß!
> Wie lange bist du noch online?
Das spielt keine Rolle, da dir bestimmt noch andere hier helfen können, da bin ich mir sicher. Bin selbst neu hier :)
>
> LG
>
> Qumega
Gruß, DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Qumega |
Eigentlich wollte ich die Fragen ja Gestern fertig machen aber da ich vor dem PC eingschlafen bin ich jetzt erst dazu gekommen.
Also zu A)
Anwendung des Wurzelkriteriums:
$ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|a_k|} [/mm] $
[mm] \sqrt[k]{\bruch {|2k+2^{k}|}{|4^k|}} [/mm] = [mm] \bruch{\sqrt[k]{2k}+2}{4} [/mm] Wenn ich jetzt k [mm] \to \infty [/mm] gehen
lasse dann bekomme ich [mm] \bruch{3}{4} [/mm]
d.h [mm] \sqrt[k]{|a_k|} \le [/mm] q q [mm] \in [/mm] |0,1| daher konvergiert die Reihe absolut
Zu B)
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k}} [/mm] $ ist nicht absolut konvergent da $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|(-1)^{k}|}{|\wurzel{k}|} [/mm] $ nicht konvergent ist
Welche Reihe benutze ich als Majorante für [mm] \bruch{1}{\wurzel{k}}? \bruch{1}{k} [/mm] ?
Zu C) Die Formel die ich mit der Hilfe von abakus herausgefunden habe ist
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \wurzel{k+1}-\wurzel]{k}=\wurzel{k+1}-\wurzel{1}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel{k+1}-\wurzel{1} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Die Folge divergiert gegen + [mm] \infty
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Mi 20.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Guten Morgen,
> Also zu A)
>
> Anwendung des Wurzelkriteriums:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|a_k|}[/mm]
>
> [mm]\sqrt[k]{\bruch {|2k+2^{k}|}{|4^k|}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\sqrt[k]{2k}+2}{4}[/mm] Wenn ich jetzt k [mm]\to \infty[/mm] gehen
>
Falsch, denn es gilt i.A.: [mm] \sqrt[n]{a+b}\not=\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}.
[/mm]
[mm] \sqrt[k]{\bruch {|2k+2^{k}|}{|4^k|}}=\bruch{\sqrt[k]{2k+2^k}}{\sqrt[k]{4^k}}=\bruch{\sqrt[k]{2k+2^k}}{4}
[/mm]
Jetzt klammere im Zähler in der Wurzel [mm] 2^k [/mm] aus, fasse dann zusammen und nutze dann die Grenzwertsätze.
Tipp: Es gilt: [mm] \sqrt[n]{a*b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} [/mm] für alle [mm] a,b\in\IR_{\ge0} [/mm] und [mm] n\in\IN.
[/mm]
> lasse dann bekomme ich [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>
> d.h [mm]\sqrt[k]{|a_k|} \le[/mm] q q [mm]\in[/mm] |0,1| daher konvergiert
> die Reihe absolut
>
> Zu B)
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k}}[/mm] ist
> nicht absolut konvergent da [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|(-1)^{k}|}{|\wurzel{k}|}[/mm]
> nicht konvergent ist
>
> Welche Reihe benutze ich als Majorante für
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{k}}? \bruch{1}{k}[/mm] ?
Wir haben bereits gezeigt, dass die Reihe konvergiert. Nun untersuchen wir die Reihe auf absoluter Konvergenz. Du hast vermutet, dass die Reihe nicht absolut konvergiert, also musst du eine divergente Minorante finden und nicht eine konvergente Majorante.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|(-1)^{k}|}{|\wurzel{k}|}=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}
[/mm]
Du könntest aber genauso wie davor bei deiner Aufgabe mit der allgemeinen harmonischen Reihe argumentieren. Es gibt in der Mathematik nicht nur einen Weg zur Lösung. Das ist das schöne dadran.
Jetzt du! Was gilt nun genau und was gilt für den Grenzwert?
>
> Zu C) Die Formel die ich mit der Hilfe von abakus
> herausgefunden habe ist
>
Stichwort: Teleskopsumme. Nachschlagen!
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \wurzel{k+1}-\wurzel]{k}=\wurzel{k+1}-\wurzel{1}[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel{k+1}-\wurzel{1}[/mm] =
> [mm]\infty[/mm]
>
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \wurzel{k+1}-\wurzel{k}=\limes_{N\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{N} \wurzel{k+1}-\wurzel{k}
[/mm]
Jetzt nochmal!
> Die Folge divergiert gegen + [mm]\infty[/mm]
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Di 26.11.2013 | | Autor: | Qumega |
Hallo,
entschuldige die verspätete Antwort aber ich war letzte Woche mit 39 Grad Fieber ans Bett gebunden und bin jetzt erst wieder dazu gekommen.
a) Hier wollte ich ja das Wurzelkriterium anwenden um herauszufinden ob die Folge konvergiert oder divergiert.
wenn [mm] \wurzel[k]{|a_k|} \le [/mm] q q [mm] \in [/mm] (0,1) dann ist die Reihe absolut konvergent
wenn [mm] \wurzel[k]{|a_k|} \ge [/mm] 1 dann divergiert die Reihe
$ [mm] \sqrt[k]{\bruch {|2k+2^{k}|}{|4^k|}}=\bruch{\sqrt[k]{2k+2^k}}{\sqrt[k]{4^k}}=\bruch{\sqrt[k]{2k+2^k}}{4} [/mm] $
Den Zähler habe ich so umformliert:
[mm] \sqrt[k]{\bruch{2^k}{2^k}*(2k+2^k)} [/mm] Mit [mm] \bruch{2^k}{2^k} [/mm] bzw. 1 innerhalb der Wurzel multipliziert
[mm] 2\times\sqrt[k]{\bruch{2k+2^k}{2^k}} 2^k [/mm] aus der Wurzel gezogen
[mm] 2\times\sqrt[k]{1+\bruch{2k}{2^k}} [/mm] Vereinfacht
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} 2\times\sqrt[k]{1+\bruch{2k}{2^k}} [/mm] = 2
Also ist [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|a_k|}=\bruch{2}{4}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] 0<\bruch{1}{2}<1 [/mm] Das bedeutet die Reihe ist absolut konvergent
b)
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k}} [/mm] $
da [mm] \bruch{1}{\wurzel{k}} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge reeller Zahlen ist, konvergiert die Reihe [mm] \bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k}}
[/mm]
Ich denke das [mm] \bruch{1}{\wurzel{k}} [/mm] nicht absolut konvergiert. Um das nachzuweisen muss ich eine divergente Minorante finden. Also habe ich mir die Folge
[mm] \bruch{1}{k}
[/mm]
genommen. Wie aber schreibt man so einen Beweis formaler? Oder ist es genug wenn ich eine divergente minorante angebe?
Für den Grenzwert "s" gelten die Abschätzungen
[mm] s_2_m_+_1 \le [/mm] s [mm] \le s_2_m
[/mm]
[mm] s-s_n \le a_n [/mm] für m,n [mm] \in \IN_0
[/mm]
Ich verstehe den Teil nicht wirklich. Auf Wikipedia heißt es das es eine Abschäzung ist weil bei derartig alternierenden Reihen der Grenzwert immer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen liegt. Kann mir das jemand erklären
c) Hier hab ich mal wie dieacht empfohlen hat bei Wikipedia Teleskopsummen nachgeschlagen.
Für eine Teleskopsumme gilt [mm] \sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1})= \sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1}) [/mm] = [mm] (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\cdots+(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}.
[/mm]
Bei der Folge [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \wurzel{k+1}-\wurzel{k} [/mm] also [mm] -\wurzel{1}+\wurzel{k+1} [/mm] Ich verstehe nicht ganz warum das falsch sein soll.
Noch eine Frage. Ist es okay wenn ich mehrere Fragen auf matheforum.net gleichzeitig poste? Beispiel: Eine Frage zu Reihen, eine zu Funktionen etc...
Liebe Grüße und vielen Dank
Qumega
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Di 26.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo,
>
> entschuldige die verspätete Antwort aber ich war letzte
> Woche mit 39 Grad Fieber ans Bett gebunden und bin jetzt
> erst wieder dazu gekommen.
Kein Problem!
>
> a) Hier wollte ich ja das Wurzelkriterium anwenden um
> herauszufinden ob die Folge konvergiert oder divergiert.
>
> wenn [mm]\wurzel[k]{|a_k|} \le[/mm] q q [mm]\in[/mm] (0,1) dann ist die
> Reihe absolut konvergent
>
> wenn [mm]\wurzel[k]{|a_k|} \ge[/mm] 1 dann divergiert die Reihe
Falsch!
Das Quotientenkriterium sagt, dass eine Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] mit [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] und [mm] a_n\in\IC [/mm] absolut konvergiert, falls [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1 [/mm] für fast alle Indizes n gilt. Falls [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}>1 [/mm] für unendlich viele Indizes n gilt, dann divergiert die Reihe. Wenn nun aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1 [/mm] für fast alle Indizes gilt, dann weißt du nichts über die Reihe!
>
> [mm]\sqrt[k]{\bruch{|2k+2^{k}|}{|4^k|}}=\bruch{\sqrt[k]{2k+2^k}}{\sqrt[k]{4^k}}=\bruch{\sqrt[k]{2k+2^k}}{4}[/mm]
>
Bis hierhin hatte ich dir das vorgerechnet. Ich habe dir gesagt, dass du [mm] $2^k$ [/mm] in der Wurzel ausklammern sollst!
> Den Zähler habe ich so umformliert:
>
> [mm]\sqrt[k]{\bruch{2^k}{2^k}*(2k+2^k)}[/mm] Mit
> [mm]\bruch{2^k}{2^k}[/mm] bzw. 1 innerhalb der Wurzel multipliziert
>
> [mm]2\times\sqrt[k]{\bruch{2k+2^k}{2^k}} 2^k[/mm] aus der
> Wurzel gezogen
>
> [mm]2\times\sqrt[k]{1+\bruch{2k}{2^k}}[/mm] Vereinfacht
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} 2\times\sqrt[k]{1+\bruch{2k}{2^k}}[/mm]
> = 2
>
> Also ist
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|a_k|}=\bruch{2}{4}=\bruch{1}{2}[/mm]
Ich verstehe nicht was du da genau machst, aber schreib es nächstes mal so auf: [mm] \sqrt[k]{\bruch{|2k+2^{k}|}{|4^k|}}=\bruch{\sqrt[k]{2k+2^k}}{\sqrt[k]{4^k}}=\bruch{\sqrt[k]{2k+2^k}}{4}=\frac{\sqrt[k]{2^k(\frac{2k}{2^k}+1)}}{4}=\frac{\sqrt[k]{\frac{2k}{2^k}+1}}{2}
[/mm]
Was gilt nun für $k$ gegen [mm] \infty? [/mm] Sag mir jetzt bitte nicht wieder, dass die Reihe absolut konvergiert. Die Aufgabe verlangt ein bisschen mehr.
>
> b)
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k}}[/mm]
>
> da [mm]\bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm] eine monoton fallende Nullfolge
> reeller Zahlen ist, konvergiert die Reihe
> [mm]\bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k}}[/mm]
>
> Ich denke das [mm]\bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm] nicht absolut
> konvergiert. Um das nachzuweisen muss ich eine divergente
> Minorante finden. Also habe ich mir die Folge
>
> [mm]\bruch{1}{k}[/mm]
>
> genommen. Wie aber schreibt man so einen Beweis formaler?
> Oder ist es genug wenn ich eine divergente minorante
> angebe?
>
> Für den Grenzwert "s" gelten die Abschätzungen
>
> [mm]s_2_m_+_1 \le[/mm] s [mm]\le s_2_m[/mm]
>
> [mm]s-s_n \le a_n[/mm] für m,n [mm]\in \IN_0[/mm]
>
> Ich verstehe den Teil nicht wirklich. Auf Wikipedia heißt
> es das es eine Abschäzung ist weil bei derartig
> alternierenden Reihen der Grenzwert immer zwischen zwei
> aufeinanderfolgenden Partialsummen liegt. Kann mir das
> jemand erklären
>
Wow, ich bitte dich einfach mal nachzulesen was ich über b) schon alles gesagt habe.
Wir haben bereits gezeigt, dass die Reihe konvergiert. Nun untersuchen wir die Reihe auf absoluter Konvergenz. Du hast vermutet, dass die Reihe nicht absolut konvergiert, also musst du eine divergente Minorante finden und nicht eine konvergente Majorante.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|(-1)^{k}|}{|\wurzel{k}|}=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k}}\ge\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm]
Du könntest aber genauso wie davor bei deiner Aufgabe mit der allgemeinen harmonischen Reihe argumentieren. Es gibt in der Mathematik nicht nur einen Weg zur Lösung. Das ist das schöne dadran.
Jetzt du! Was gilt nun genau und was gilt für den Grenzwert?
>
> c) Hier hab ich mal wie dieacht empfohlen hat bei Wikipedia
> Teleskopsummen nachgeschlagen.
>
> Für eine Teleskopsumme gilt [mm]\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1})= \sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1})[/mm]
> =
> [mm](a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\cdots+(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}.[/mm]
>
> Bei der Folge [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \wurzel{k+1}-\wurzel{k}[/mm]
> also [mm]-\wurzel{1}+\wurzel{k+1}[/mm] Ich verstehe nicht ganz warum
> das falsch sein soll.
Deine Schreibweise ist einfach mathematisch falsch. Dafür würde es in einer Klausur Null Punkte geben. Bei c) waren wir schon fast fertig. Lies nochmal nach!
Ich hatte dir den mathematisch korrekten Anfang zur Berechnung des Grenzwertes gegeben:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \wurzel{k+1}-\wurzel{k}=\limes_{N\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{N} \wurzel{k+1}-\wurzel{k}
[/mm]
Nun bist du dran!
>
> Noch eine Frage. Ist es okay wenn ich mehrere Fragen auf
> matheforum.net gleichzeitig poste? Beispiel: Eine Frage zu
> Reihen, eine zu Funktionen etc...
Soweit ich das mitbekommen habe soll man für jede Frage einen neuen Thread aufmachen.
>
> Liebe Grüße und vielen Dank
>
> Qumega
>
Langsam wird es ein wenig unübersichtlich. Schreib doch mal alles sauber auf und schreib was du nicht verstanden hast.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Qumega |
Danke für die Antwort. Mache mich Morgen Früh sofort ans Werk. Ich glaube ich werde mir auch nochmal genauer die Basics durchlesen. Irgendwie habe ich den Eindruck das ich da das ein oder andere total falsch verstanden habe.
Danke für die Geduld!
Gruß
Qumega
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Di 19.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Loddar,
>
> vielen Dank für die schnelle Antwort. Wie würde ich dann
> diese Aufgabe angehen:
>
> [mm]\summe_{x=1}^{\infty} (\wurzel {x+1}-\wurzel{x})[/mm]
Hallo,
schreibe doch einfach mal die Summe der ersten 4 Glieder auf:
[mm](\sqrt2-\sqrt1)+ (\sqrt3-\sqrt2)+ (\sqrt4-\sqrt3)+ (\sqrt5-\sqrt4)[/mm] ergibt (da sich immer zwei Wurzeln paarweise "wegsubtrahieren") einfach nur noch [mm] (\sqrt5-\sqrt1)[/mm].
Nun nimm mehr als 4 Summanden...
Gruß Abakus
>
> Wir haben letztens gelernt eine andere Reihe zum vergleich
> zu nehmen um zu sehen wie diese sich verhält. Ich weiß
> aber nicht welcher Reihe diese Reihe ähnelt.
>
> Alternativ habe ich mir überlegt das Wurzelkriterium
> anzuwenden:
>
> Wenn [mm]\wurzel[k]{a_k} \le[/mm] q q [mm]\in[/mm] (0,1) dann konvergiert
> die Reihe absolut
> Wenn [mm]\wurzel[k]{a_k} \ge[/mm] 1 dann divergiert die Reihe
>
> Ich bin mir aber auch nicht sicher wie ich das anwende. Tut
> mir leid ich bin ziemlich schlecht in Mathe. Vielleicht
> kannst du mir einen Tip geben.
>
> Liebe Grüße
>
> Qumega
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Hallo Fred,
> >
> > erstmal vielen vielen Dank für die Antwort. Den Betrag hat
> > unser Dozent in der Übungsaufgabe einfach weggelassen
> > deshalb habe ich Ihn "vergessen".
>
> Wen hast Du vergessen ? Den Betrag oder den Dozenten ?
den Betrag, den er dem Dozenten noch schuldet (oder den Betrag,
der den Dozenten im schuldet).
Ach Mensch, wo bleibt da die Norm...
Gruß,
Marcel
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Das Prinzip eines Forums ist jedenfalls, dass so bald wie möglich Hilfe kommt, soweit das eben möglich ist. Deswegen sind wir auf gute Dokumentation und vor allem auf Teamwork angewiesen.
