Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Sa 12.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] |
Hallo,
ich habe mal eine allgemeine Frage.
Und zwar ist mir klar, dass beim Quotientenkriterium wenn ich [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] nehme bekomme ich ja sozusagen das q raus.
Dieses q ist sozusagen ein "Hilfsgrenzwert" (nicht der tatsächliche Grenzwert).
Ist nun dieses q < 1 konvergiert die Reihe.
ist dieses q > 1 divergiert sie.
Aber was ist wenn q = 1 ist????????
Weitere Frage:
Kennt jemand von euch einen guten Funktionsplotter der auch Reihen anzeigt?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Sa 12.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ali,
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe mal eine allgemeine Frage.
>
> Und zwar ist mir klar, dass beim Quotientenkriterium wenn
> ich [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] nehme bekomme ich ja sozusagen
> das q raus.
Vorsicht: Wie habt ihr das QK formuliert? Denn ich vermute, dass da sowas
wie "für fast alle" oder "alle bis auf endlich viele" drin vorkommt. Wenn dem
so ist, dann ist ein solches [mm] $q\,$ [/mm] jeweils nicht eindeutig.
Was man sagen kann: Ist [mm] $\sum a_n$ [/mm] eine Reihe, so konvergiert diese
Reihe sicher dann, wenn (ich erspare es mir, $n [mm] \to \infty$ [/mm] immer unter
die Limites zu schreiben)
[mm] $$\limsup |a_{n+1}/a_n| [/mm] < [mm] 1\,,$$
[/mm]
und die Reihe divergiert sicher dann, wenn
[mm] $$\lim\red{\inf}|a_{n+1}/a_n| [/mm] > [mm] 1\,.$$
[/mm]
Habt Ihr vielleicht [mm] $q:=\lim |a_{n+1}/a_n|$ [/mm] gesetzt? Damit wird die
Aussage beim QK aber um einiges schwächer... (Übrigens steht bei
![[]](/images/popup.gif) Wiki (klick!) ein sehr guter
Artikel zum QK...)
> Dieses q ist sozusagen ein "Hilfsgrenzwert" (nicht der
> tatsächliche Grenzwert).
>
> Ist nun dieses q < 1 konvergiert die Reihe.
> ist dieses q > 1 divergiert sie.
>
> Aber was ist wenn q = 1 ist????????
Dann ist keine Aussage MIT DEM QK möglich (wenn Euer [mm] $q=\lim [/mm] ...$ (s.o.) ist):
Betrachte einfach mal die divergente Reihe [mm] $\sum 1/n\,,$ [/mm] und die
konvergente Reihe [mm] $\sum 1/n^2\,.$
[/mm]
> Weitere Frage:
>
> Kennt jemand von euch einen guten Funktionsplotter der auch
> Reihen anzeigt?
?? Meinst Du nun (formale) Funktionenreihen der Art $x [mm] \mapsto \sum_{k=0}^\infty f_k(x)\,,$
[/mm]
oder speziell $x [mm] \mapsto \sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k$ [/mm] (also (formale) Potenzreihen)?
Was man natürlich machen kann, ist, eine Reihe als Folge zu plotten, denn
eine Reihe ist ja per Definitionem erstmal nur die Folge ihrer
Partialsummen. Ich kann mir nicht vorstellen, dass Du einen (einzigen)
Reihenwert plotten willst, falls die Reihe (=Folge ihrer Partialsummen) denn
konvergiert...
Gruß,
Marcel
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