Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mo 25.01.2010 | | Autor: | egal |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(2n)!*n!}{(3n)!}*x [/mm] |
Hi,
ich untersuche die Reihe auf Konvergenz oder entsprechend Divergenz:
[mm] \bruch{(2n+1)!*(n+1)!}{(3n+1)!}*\bruch{(3n!)}{(2n)!*n!} *\bruch{x^{n+1}}{x^n}
[/mm]
dann klammere ich aus:
[mm] \bruch{(2n)!*(n+4)*n!*(n+1)}{(3n)!*(n+5)}*\bruch{(3n)!}{(2n)!*n!}*x
[/mm]
gekürzt, dann kommt raus:
[mm] \bruch{(n+4)*(n+1)}{(n+5)}*x= [/mm]
[mm] \bruch{(n^2+5n+4)}{(n+5)}x [/mm]
"n" ausgeklammert ergibt:
[mm] \bruch{(n+5+\bruch{1}{4n})}{(1+\bruch{1}{5n})}x [/mm]
das ergibt dann für [mm] n->\infty=\bruch{\infty+ 5+ 0}{1 +0} [/mm] wie lese ich jetzt von hier ab, ob er divergiert oder konvergiert?,
Man muss doch herausfinden gegen welchen Wert sich die Reihe nähert für unendlich große n und schauen, ob kleiner oder größer als 1.
Wie lesen ich es denn oben ab? ist es denn jetz die 5 oder doch [mm] \infty [/mm] ??
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Bei der Konvergenz von Reihen hier mit dem Quotientenkrit lässt sich kein Wert bestimmten. Nur ob die Reihe konvergiert oder nicht.
Die Regel zum QK sieht genauer betrachtet so aus.
[mm] \bruch{(a_n_+_1)}{(a_n)} [/mm] = q
Wenn q < 1 ist die Reihe konvergent bzw sogar absolut konvergent.
Bei q > 1 ist die Reihe divergent.
bei q=1 liefert das QK keine Aussage.
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Außerdem musst du den höchsten Exponenten [mm] ($n^2$) [/mm] ausklammern!
Grüße, Stefan.
Edit: Überprüfe noch mal das angewandte QK. Da steckt ein kleiner Fehler drin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Mo 25.01.2010 | | Autor: | egal |
den Fehler sehe ich nicht, welchen meinst du?
wenn ich [mm] n^2 [/mm] ausklammere hab ich:
[mm] \bruch{n^2*(1+\bruch{n}{5n}+\bruch{1}{4n^2})}{n^2*(\bruch{n}{n}+\bruch{1}{5n^2})}
[/mm]
für [mm] n->\infty \bruch{1 + 0+ 0}{0+ 0} [/mm] =0<1, d.h. die Reihe konvergiert, stimmts?
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi!
$\left|\bruch{(2\red{\left(}n+1\red{)}!\cdot{}(n+1)!}{(3\red{\left(}n+1\red{\right)}!}\cdot{}\bruch{(3n!)}{(2n)!\cdot{}n!} \cdot{}\bruch{x^{n+1}}{x^n}\right|$
Immer an die Betragsstriche denken!
Absolute Konvergenz ergibt sich dennoch.
Gruß, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Di 26.01.2010 | | Autor: | egal |
hab doch noch ne Frage!
In der Vorlesung haben wir die selbe Aufgabe berechnet. Nur kam da [mm] \bruch{4}{27} [/mm] heraus. Da hat der Prof aber erweitert, sprich nen anderen Weg genommen, der jedoch auch zum Ziel führt. Ich bekomme ja für [mm] n->\infty [/mm] =0 heraus. In beiden Fällen konvergiert die Reihe, da egal, ob [mm] \bruch{4}{27}<1 [/mm] oder 0<1.... Oder ist das schon ein gravierender Fehler, der in der Klausur, nur die Hälfte der Punkte bescherrt?
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Falls du mal meinen Hinweis nicht ignoriert hättest, dass du bei der Auflösung der Fakultäten einen kleinen Fehler gemacht hast, hättest du gesehen, dass bei deinem Weg auch [mm] \frac{4}{27} [/mm] rauskommt!
Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Di 26.01.2010 | | Autor: | egal |
ohh na klar, hab ich emotionslos überflogen, danke für den Hinweis nochmals.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:38 Di 26.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bei der Konvergenz von Reihen hier mit dem Quotientenkrit
> lässt sich kein Wert bestimmten. Nur ob die Reihe
> konvergiert oder nicht.
>
> Die Regel zum QK sieht genauer betrachtet so aus.
>
> [mm]\bruch{(a_n_+_1)}{(a_n)}[/mm] = q
>
> Wenn q < 1 ist die Reihe konvergent bzw sogar absolut
> konvergent.
>
> Bei q > 1 ist die Reihe divergent.
>
> bei q=1 liefert das QK keine Aussage.
>
lieber Erlkönig,
schau Dir das Quotientenkriterium noch mal an ! Was Du oben schreibst ist völliger Unsinn.
Du schreibst keine Beträge , Du schreibst "=" statt [mm] \le
[/mm]
So ist doch niemandem geholfen !!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Di 26.01.2010 | | Autor: | erlkoenig |
Ja tut mir leid, habe ich etwas geschludert, wird nicht mehr vorkommen.
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