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Forum "Folgen und Reihen" - Quotientenkriterium
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Quotientenkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Mo 24.11.2008
Autor: Tommylee

Hallo ,

wenn ich durch Anwenden des Quotientenkriterium herausfinde , dass es kein 0<q<1   gibt so dass

| [mm] a_{n+1} [/mm] / [mm] a_{n} [/mm] | [mm] \le [/mm]  q   für fast alle n

so kann ich ja nicht auf diesem weg nicht zeigen dass die Reihe

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm]  konvergiert


wenn aber auch

| [mm] a_{n+1} [/mm] / [mm] a_{n} [/mm] | [mm] \ge [/mm]  1

nicht gilt für fast alle n    

so konnte ich auch nicht zeigen dass sie divergiert.

Beide Bedingungen wären ja nur hinreichend , nicht notwendig.  korrekt ??


Gehe ich also recht in der Annahme das ich nun gar nichts weiß ?

mfg Thomas


        
Bezug
Quotientenkriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:26 Mo 24.11.2008
Autor: Tommylee

Folgen :


[mm] a_{n} [/mm] :  
                  [mm] \bruch{1}{3n-2} [/mm]


[mm] b_{n} [/mm]  :     [mm] \bruch{n}{n^{3}+7n^{2}-5} [/mm]


bei beiden Folgen ist dies der Fall

Bezug
                
Bezug
Quotientenkriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:31 Mo 24.11.2008
Autor: reverend

Soweit ich sehe, ist das bei beiden Folgen nicht der Fall, ohne dass ich es selber gerechnet hätte.
Stell doch mal für eins Deiner beiden Beispiele Deine Rechnung ein, dann sehen wir mehr und können wahrscheinlich auch besser helfen.

Bezug
                
Bezug
Quotientenkriterium: Rechnung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:47 Mo 24.11.2008
Autor: Tommylee

für [mm] a_{n} [/mm]


| (1/(3(n+1)-2)) / (1/(3n-2)) |< q

[mm] \rightarrow [/mm]

| (3n-2)/(3(n+1)-2)  | < q

[mm] \rightarrow [/mm]

(3n-2)/(3n+1)  < q

(3n-2)/(3n+1)  wächst streng monoton und geht gegen 1  , also egal welches q ich wähle   , für fast alle n ist (3n-2)/(3n+1) >q

es gilt auch  (3n-2)/(3n+1) < 1

also gilt auch nicht (3n-2)/(3n+1) [mm] \ge [/mm] 1



Bezug
                
Bezug
Quotientenkriterium: Rchnung2
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:53 Mo 24.11.2008
Autor: Tommylee

für [mm] b_{n} [/mm]

für  | [mm] b_{n+1} [/mm] / [mm] b_{n} [/mm] |

erhalte ich



[mm] \bruch{n^{4}+8n^{3}+7n^{2}-5n-5}{n^{4}+10n^{3}+17n^{2}+3n} [/mm]

Dass Ding wächst auch streng monoton und geht gegen 1

also gleicher fall

Bezug
        
Bezug
Quotientenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:52 Mo 24.11.2008
Autor: pelzig


> wenn ich durch Anwenden des Quotientenkriterium herausfinde
> , dass es kein 0<q<1   gibt so dass
>
> | [mm]a_{n+1}[/mm] / [mm]a_{n}[/mm] | [mm]\le[/mm]  q   für fast alle n
>  
> so kann ich ja nicht auf diesem weg nicht zeigen dass die
> Reihe
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm]  konvergiert

Korrekt.

> wenn aber auch
>
> | [mm]a_{n+1}[/mm] / [mm]a_{n}[/mm] | [mm]\ge[/mm]  1
>  
> nicht gilt für fast alle n    
>
> so konnte ich auch nicht zeigen dass sie divergiert.

Richtig.

> Beide Bedingungen wären ja nur hinreichend , nicht
> notwendig.  korrekt ??

Richtig.

> Gehe ich also recht in der Annahme das ich nun gar nichts
> weiß ?

Richtig.

Edit: Für deine beiden Folgen nützt dir das Quotientenkriterium nichts.
Für [mm] $(a_n)$ [/mm] ist [mm] $\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{3i}$ [/mm] eine divergente Minorante, für [mm] $(b_n)$ [/mm] ist [mm] $\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{i^2}$ [/mm] eine konvergente Majorante.


Gruß, Robert

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Quotientenkriterium: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:17 Mo 24.11.2008
Autor: Tommylee

Wir sollen mit wurzel oder quotientenkriterium arbeiten,
damit komme ich anscheinend nicht weiter

hat jemand einen Tip ?

Bezug
                
Bezug
Quotientenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Mo 24.11.2008
Autor: pelzig


> Wir sollen mit wurzel oder quotientenkriterium arbeiten,
>  damit komme ich anscheinend nicht weiter

Beide Kriterien machen keine Aussage über das Konvergenzverhalten der von dir angegebenen Reihen, Punkt.

Gruß, Robert

Bezug
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