Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi Leute,
ich brühte gerade über dem Quotientenkriterium und habe da einen kleinen Hänger.
Nun für
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{| x_{n+1}|}{ |x_{n}|} [/mm] < 1
ist eine Reihe absolut konvergent. Wenn man nun die Bruchstriche weg läßt, wäre es dann ein Konvergenzkriterium für konvergente Reihen.
Gibt es eine Möglichkeit das Quotientenkriterium für konvergente und nicht absolut konvergente Reihen an zu wenden?
Danke für deine Hilfe!!!!!!!!!!
Gruß
Professor
PS: Schreibe am Fr. 13:30 Uhr Klausur :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Mi 09.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
also ich kann mir nicht vorstellen, dass man ein quotientenkriterium für konvergente, aber nicht absolut konvergente reihen formulieren kann. der beweis läuft nämlich im prinzip darauf hinaus, dass du die gegebene reihe durch eine geometrische reihe mjorisierst und diese ist nun eben absolut konvergent und kann somit auch nur absolut konvergente reihen majorisieren.
hoffe ich hatte da jetzt keinen denkfehler drin.
grüße
andreas
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Danke zuerst mal für deine schnelle Antwort 
Jedoch würde das ja heißen, dass das Quotientenkriterium für konvergente Reihen gar nicht hilfreich ist.
Ich dachte mir, wenn man vom Quotientenkriterium die Betragsstriche weglässt könnte es vielleicht für konvergente Reihen gelten.
Gruß
Prof.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Do 10.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Professor!
Das Quotientenkriterium ist ein Kriterium für die absolute Konvergenz einer Reihe. Zumeist ist man aber auch an der absoluten Konvergenz von Reihen (insbesondere von Potenzreihen) interessiert. Damit konvergiert die Reihe natürlich auch im normalen Sinne, aber man bekommt mit dem Quotientenkriterium nicht ein hinreichendes Kriterium für Reihen, die konvergieren, aber nicht absolut konvergieren.
Für nicht absolut konvergente Reihen gibt es für spezielle Reihen Konvergenzkriterien (z.B. das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen mit nichtnegativen Gliedern), allerdings ist es dort im Allgemeinen und zumeist eine spezielle Einzelfalluntersuchung über das Cauchy-Kriterium etc.
Viele Grüße
Julius
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Hallo,
vielen Dank für die rasche Antwort.
Gibt es eine Art Quotientenkriterium auch für Folgen???
Gruß
Prof.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Do 10.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Prof  !!
> Gibt es eine Art Quotientenkriterium auch für Folgen???
Bei einer Folge [mm] $a_n$ [/mm] weist Du mit [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ < \ 1$ die (streng) fallende Monotonie nach.
Wenn Du nun noch zeigst, daß die Folge [mm] $a_n$ [/mm] nach unten beschränkt ist, hast Du auch den Nachweis für die Konvergenz der Folge [mm] $a_n$.
[/mm]
Aber direkt als Quotientenkriterium für Folgen kenne ich das nicht ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Do 10.02.2005 | | Autor: | baddi |
Hallo es kann schwehrwiegend sein, dieser kleine Fehler -
ist mir nämlich auch schon passiert.
Das Quotientenkriterium lautet nicht
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{| x_{n+1}|}{ |x_{n}|}[/mm] < 1
sondern
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{| x_{n+1}|}{ |x_{n}|}[/mm] < q [mm] \in [/mm] [0,1)
Damals dachte ich das wär das gleiche, ist es aber nicht !
Z.B. die Harmonische Reihe, dort wirst du kein kongretes q finden
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Do 10.02.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Das Quotientenkriterium lautet nicht
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{| x_{n+1}|}{ |x_{n}|}[/mm] <
> 1
> sondern
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{| x_{n+1}|}{ |x_{n}|}[/mm] <
> q [mm]\in[/mm] [0,1)
>
> Damals dachte ich das wär das gleiche, ist es aber nicht
> !
Oh doch, diese beide Formulöierungen sind äquivalent. Es geht in obiger Definition ja drum, daß der Grenzwert q kleiner 1 ist - tja und dann kann man immer ein weiteres [mm]q'[/mm] finden mit [mm]q
> Z.B. die Harmonische Reihe, dort wirst du kein kongretes q
> finden
Da konvergiert das auch geg. 1!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Do 10.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich nehhme an baddi meinte die aussage, dass aus [m] \left| \frac{x_{n+1}}{x_n} \right| \leq c [/m] für ein [m] c < 1 [/m] und alle $n$ größer als ein geeignetes [mm] $n_0\in \mathbb{N}$ [/mm] konvergenz der reihe folgt. hier ist die forderung $c<1$ nämlich wichtig (hier steht aber auch kein [mm] $\lim$ [/mm] vor dem bruch).
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Fr 11.02.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> ich nehhme an baddi meinte die aussage, dass aus [m]\left| \frac{x_{n+1}}{x_n} \right| \leq c[/m]
> für ein [m]c < 1[/m] und alle [mm]n[/mm] größer als ein geeignetes [mm]n_0\in \mathbb{N}[/mm]
> konvergenz der reihe folgt. hier ist die forderung [mm]c<1[/mm]
> nämlich wichtig (hier steht aber auch kein [mm]\lim[/mm] vor dem
> bruch).
Diese Formulierung kenne ich auch (dabei scheint mir diese etwas allgemeiner - ich sehe jedenfalls nicht, wie man aus obiger Def. sofort auf die Konvergenz schließen kann.), und sicher ist dann diese Forderung wichtig - genauso wichtig, wie die, daß beim Limes ein Wert kleiner 1, und nicht 1 heraus kommt - bei 1 ist die Frage offen. Aber die Forderung an den Limes reciht eben aus - nicht das der OP denkt, er hätte das falsche Kriterium; das ist ja nicht fall.
SEcki
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