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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:46 Do 25.02.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich habe eine allgemeine Frage zur Quotenabbildung bzw. zum Quotientenraum und dem Kern dieser Abbildung.
Beispiel:
Sei $\ V $ ein $\ [mm] \mathbb [/mm] K$-Vektorraum und $\ U [mm] \subseteq [/mm] V $ ein Untervektorraum.
$\ q: V [mm] \to [/mm] V / U $ sei die Quotientenabbildung.
Ich verstehe nicht so recht, warum $\ ker\ q = U $ gilt.
Es ist $\ ker\ q = [mm] \{ v \in V : q(v) = 0 \} [/mm] $
Doch warum ist gerade diese Menge ganz U ?
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.
Gruß
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Do 25.02.2010 | | Autor: | phrygian |
Hallo
was sind die Elemente von $V/U$? Was ist das Null-Element?
Gruss,
Phrygian
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Do 25.02.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
Es ist $\ V / U = [mm] \{v+U : v \in U \} [/mm] $
Hier bin ich mir auch nicht so ganz sicher, ob ich die Menge richtig verstehe.
$\ V / U $ sind alle Elemente aus $\ V [mm] \cap [/mm] U $ addiert mit allen Elementen aus U. Seh ich das richtig?
Da $\ U $ ein Untervektorraum ist, gilt $\ 0 [mm] \in [/mm] U $, doch mehr weiß ich nicht.
Würde mich über weitere Tipps oder Erklärungen freuen
Gruß
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Do 25.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Es ist [mm]\ V / U = \{v+U : v \in U \}[/mm]
>
> Hier bin ich mir auch nicht so ganz sicher, ob ich die
> Menge richtig verstehe.
> [mm]\ V / U[/mm] sind alle Elemente aus [mm]\ V \cap U[/mm] addiert mit
> allen Elementen aus U. Seh ich das richtig?
Nein. Wir def. auf V eine Äquivalenzrelation wie folgt:
x [mm] \sim [/mm] y : [mm] \gdw [/mm] x-y [mm] \in [/mm] U
Zu x [mm] \in [/mm] V sei [x]:= { y [mm] \in [/mm] V : x [mm] \sim [/mm] y }.
Dann ist V/U := { [x]: x [mm] \in [/mm] V } und die obige Abb. q ist def. durch q(x):= [x]
Dann haben wir:
u [mm] \in [/mm] kern(q) [mm] \gdw [/mm] [u]=0 [mm] \gdw [/mm] u-0 [mm] \in [/mm] U [mm] \gdw [/mm] u [mm] \in [/mm] U
FRED
>
> Da [mm]\ U[/mm] ein Untervektorraum ist, gilt [mm]\ 0 \in U [/mm], doch mehr
> weiß ich nicht.
>
> Würde mich über weitere Tipps oder Erklärungen freuen
> Gruß
> ChopSuey
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Di 30.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
etwas ist mir noch unklar.
Warum ist $\ [u] = 0 [mm] \gdw [/mm] u - 0 [mm] \in [/mm] U $ ?
Viele Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Di 30.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> etwas ist mir noch unklar.
>
> Warum ist [mm]\ [u]= 0 \gdw u - 0 \in U[/mm] ?
Besser: [mm]\ [u]= [0] \gdw u - 0 \in U[/mm] ?
Allgemein gilt: $[x]=[y] [mm] \gdw [/mm] x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x-y [mm] \in [/mm] U$
FRED
> [mm][u][/u][/mm]
> [mm][u]Viele Grüße[/u][/mm]
> [mm][u] ChopSuey[/u][/mm]
> [mm][u] [/u][/mm]
> [mm][u] [/u][/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Di 30.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
vielen Dank! Dass $\ 0 = [0] $ ist, dessen war ich mir nicht ganz sicher. Jetzt hab ichs verstanden. 
Viele Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Do 25.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Es ist [mm]\ V / U = \{v+U : v \in [/mm]U V[mm]$ \}[/mm]
Das passt zu Freds Beschreibung von $V/U$: Es gilt nämlich [mm] $[x]=\{y\in V\;|\;y\sim x\}=\{y\in V\;|\;y-x\in U\}=\{y\in V\;|\;y\in x+U\}=x+U$ [/mm] für alle Vektoren [mm] $x\in [/mm] V$.
> Hier bin ich mir auch nicht so ganz sicher, ob ich die
> Menge richtig verstehe.
> [mm]\ V / U[/mm] sind alle Elemente aus [mm]\ V \cap U[/mm] addiert mit
> allen Elementen aus U. Seh ich das richtig?
Jedes einzelne Element von $V/U$ hat die Gestalt $v+U$ für einen festen Vektor [mm] $v\in [/mm] V$. $v+U$ ist die Menge aller Summen von v mit Elementen aus U. Jeder Vektor aus $V/U$ ist also eine Teilmenge von V.
Ich glaube, die Äquivalenzklassen-Charakterisierung, die dir Fred genannt hat, ist verständlicher: Man teilt sozusagen die Vektoren aus V in Äquivalenzklassen auf und die Äquivalenzklassen sind die Vektoren des neuen Vektorraumes $V/U$.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Fr 26.02.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
vielen Dank Euch beiden, für die ergänzende Definition und Erklärung jeweils.
Damit kann ich arbeiten.
Falls ich noch fragen hab, meld ich mich.
Gruß
ChopSuey
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