Quotient zweier Ideale < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:49 Fr 25.06.2010 | | Autor: | B-Ball |
| Aufgabe | Sei R ein Ring und [mm]\alpha,\beta,\gamma[/mm] Ideale von R. Zeigen Sie:
[mm]\alpha:\beta:=\left\{r\in R | r\beta\subset\alpha\}\right[/mm] ist ein Ideal von R. |
Hey!
also damit ich nachweisen kann, dass [mm]\alpha :\beta[/mm] ein Ideal von R ist muss ich ja einfach folgende drei Eigenschaften nachweisen:
1. [mm]0\in\alpha :\beta[/mm]
2. [mm]a,b\in\alpha :\beta\Rightarrow a+b\in\alpha :\beta[/mm]
3. [mm]a\in\alpha :\beta , r\in R\Rightarrow r*a\in\alpha : \beta[/mm]
Zu 1.)
Da R ein Ring ist gilt: [mm]0\in R[/mm]
also kann ich insbesondere r=0 wählen und erhalte damit:
[mm]r*\beta = 0*\beta = 0 \subset\alpha[/mm] da [mm]\alpha[/mm] Ideal ist.
Zu 2.)
[mm]a,b\in\alpha :\beta[/mm] ,d.h.:
[mm]a\in\alpha :\beta\Rightarrow a*\beta\subset\alpha[/mm]
[mm]b\in\alpha :\beta\Rightarrow b*\beta\subset\alpha[/mm]
Eigentlich genügt es doch jetzt zu zeigen, dass [mm](a+b)*\beta\subset\alpha[/mm] ist oder?
Ich hab das dann so gemacht, bin mir aber nicht sicher ob das stimmt wiel mir das doch ein wenig einfach vorkommt:
[mm](a+b)*\beta = a*\beta + b*\beta[/mm] da ich nun weiß, dass [mm]a*\beta,b*\beta\subset\alpha[/mm] ist kann ich ja auch folgern dass die Summe dieser beiden Teilmenge von [mm]\alpha[/mm] ist, oder?! (wie gesagt kommt mir eigentlich zu einfach vor)
Zu 3.)
habe ich bisher noch gar keine richtige idee...
ich denke aber mein hauptproblem bei der aufgabe ist, dass ich mir unter dem Produkt von einem element aus dem Ring mit einem ideal, also [mm]r*\beta[/mm] irgendwie nichts vorstellen kann. Ein Ideal ist ja eigentlich nichts anderes als eine Menge von Elementen aus einem ring für die die oben aufgelisteten eigentschaften gelten... muss ich dann einfach jedes element aus dieser menge mit r multiplizieren oder wie ist das zu verstehen?! das selbe verständnis problem habe ich auch wenn ich rechnen soll [mm]a*\beta + b*\beta[/mm]. ich weiß zwar dass beide produkte teilmenge von [mm]\alpha[/mm] sind aber was passiert nun wenn ich diese beiden teilmengen addiere?! adieren sich die elemente oder wird die eine teilmenge einfach nur durch die elemente ergänzt die in der anderen nicht vorkommen (das wäre ja aber eigentlich die vereinigung).
Ich hoffe ihr könnt mir helfen, da ich echt irgendwie gerade ein verständnis problem habe, was es bedeutet mit mengen bzw. teilmengen rechenoperationen durchzuführen...;) (jaja ich weiß das sollte ich aber eigentlich wissen...). und da ich noch einige andere aufgaben zu diesem thema bearbeiten muss, jetzt am anfang aber schon einen hänger habe, wäre es doch gut wenn ich da irgendwie den durchblick bekomme...;)
Vielen Dank im voraus!
Gruß
B-Ball
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 28.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Mo 28.06.2010 | | Autor: | andreas |
hallo.
> Zu 1.)
> Da R ein Ring ist gilt: [mm]0\in R[/mm]
> also kann ich insbesondere
> r=0 wählen und erhalte damit:
> [mm]r*\beta = 0*\beta = 0 \subset\alpha[/mm] da [mm]\alpha[/mm] Ideal ist.
ja.
> Zu 2.)
> [mm]a,b\in\alpha :\beta[/mm] ,d.h.:
> [mm]a\in\alpha :\beta\Rightarrow a*\beta\subset\alpha[/mm]
>
> [mm]b\in\alpha :\beta\Rightarrow b*\beta\subset\alpha[/mm]
>
> Eigentlich genügt es doch jetzt zu zeigen, dass
> [mm](a+b)*\beta\subset\alpha[/mm] ist oder?
> Ich hab das dann so gemacht, bin mir aber nicht sicher ob
> das stimmt wiel mir das doch ein wenig einfach vorkommt:
> [mm](a+b)*\beta = a*\beta + b*\beta[/mm] da ich nun weiß, dass
> [mm]a*\beta,b*\beta\subset\alpha[/mm] ist kann ich ja auch folgern
> dass die Summe dieser beiden Teilmenge von [mm]\alpha[/mm] ist,
> oder?! (wie gesagt kommt mir eigentlich zu einfach vor)
beachte, dass im allgemeinen nicht gilt: $(a + [mm] b)\beta [/mm] = [mm] a\beta [/mm] + [mm] b\beta$, [/mm] siehe zum beispiel $(2 + [mm] 2)(2\mathbb{Z}) [/mm] = [mm] 4\cdot 2\mathbb{Z} [/mm] = [mm] 8\mathbb{Z} \not= 4\mathbb{Z} =4\mathbb{Z} [/mm] + [mm] 4\mathbb{Z} [/mm] = [mm] 2\cdot 2\mathbb{Z} [/mm] + [mm] 2\cdot 2\mathbb{Z}$.
[/mm]
es gilt aber immerhin noch $(a + [mm] b)\beta \subseteq a\beta [/mm] + [mm] b\beta$. [/mm] kannst du das (mit hilfe der definitonen) beweisen?
> Zu 3.)
> habe ich bisher noch gar keine richtige idee...
nimm ein $x [mm] \in \alpha [/mm] : [mm] \beta$ [/mm] ein $r [mm] \in [/mm] R$ und ein $b [mm] \in \beta$ [/mm] nun muss gezeiegt werden, dass $(rx)b [mm] \in \alpha$ [/mm] (klar?). was folgt nun aus dem assoziativgesetz und der idealeigenschaft?
> ich denke aber mein hauptproblem bei der aufgabe ist, dass
> ich mir unter dem Produkt von einem element aus dem Ring
> mit einem ideal, also [mm]r*\beta[/mm] irgendwie nichts vorstellen
> kann. Ein Ideal ist ja eigentlich nichts anderes als eine
> Menge von Elementen aus einem ring für die die oben
> aufgelisteten eigentschaften gelten... muss ich dann
> einfach jedes element aus dieser menge mit r multiplizieren
> oder wie ist das zu verstehen?!
ja. siehe obiges beispiel bei eigenschaft 2). es ist $r [mm] \alpha [/mm] = [mm] \{r \cdot x : x \in \alpha \}$. [/mm] mach dir das am besten mal an ein paar dir bekannten beispielen (etwa den oben genannten) klar.
> das selbe verständnis
> problem habe ich auch wenn ich rechnen soll [mm]a*\beta + b*\beta[/mm].
> ich weiß zwar dass beide produkte teilmenge von [mm]\alpha[/mm]
> sind aber was passiert nun wenn ich diese beiden teilmengen
> addiere?! adieren sich die elemente oder wird die eine
> teilmenge einfach nur durch die elemente ergänzt die in
> der anderen nicht vorkommen (das wäre ja aber eigentlich
> die vereinigung).
ersteres. siehe auch entsprechender wikipedia-artikel (habt ihr die sume von idealen nicht in der vorlesung definiert?)
grüße
andreas
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