Quotient einer Coxetergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 So 28.10.2012 | | Autor: | itzepo11 |
Es sei $W$ eine endliche Coxetergruppe (also eine endliche Spiegelungsgruppe) auf den Erzeugern [mm] $s_1,..., s_n$. [/mm] Formal kann diese Gruppe ja als der Quotient $F/N$ realisiert werden, wobei $F$ die freie Gruppe auf den Erzeugern ist und $N$ der Normalteiler erzeugt durch die Elemente [mm] $(s_is_j)^{m_{ij}}$ ($m_{ij}$ [/mm] der entsprechende Eintrag aus der Coxetermatrix). Soweit alles klar.
Jetzt soll allgemein eine endliche Gruppe $G$ gegeben sein die von Involutionen [mm] $s_1,...,s_n$ [/mm] erzeugt ist. Mir wurde einmal gesagt, dass eine solche Gruppe immer der Quotient einer Coxetergruppe ist, i.e. $G=W/N$ für eine Coxetergruppe $W$ und einen Normalteiler $N$ in $W$. Ist es irgendwie offensichtlich wie dieser Normalteiler $N$ zu wählen ist? Bzw. ist auch die Existenz eines solchen Quotienten überhaupt immer klar?
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 So 28.10.2012 | | Autor: | hippias |
Eine Coxetergruppe ist eine sogenannte von Relationen erzeugte freie Gruppe; womit man den Quotienten der entsprechenden freien Gruppe und dem von den Relationen erzeugtem Normalteiler meint. Diese ist in dem Sinne maximal, dass es von ihnen immer einen Epimorphismus auf eine Gruppe gibt, die ein Erzeugendensystem besitzt, das die vorgegebenen Relationen erfuellt (grob gesagt).
Wenn eine gegebene endliche Gruppe $G$ also von Involutionen [mm] $g_{i}$ [/mm] erzeugt wird, dann kann man die Coxetergruppe $C$ zu den [mm] $m_{i,j}:= o(g_{i} g_{j})$ [/mm] bilden. Aufgrund der angedeuteten Maximalitaet der von Relationen erzeugten freien Gruppe gibt es nun einen Epimorphismus [mm] $C\to [/mm] G$, weil $G$ natuerlich seine eigenen Relationen erfuellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 So 28.10.2012 | | Autor: | itzepo11 |
Ok, vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe mir die Existenz dieses Epimorphismus auch noch mal in einem Buch zur Gruppentheorie angeguckt (einfach eine Folgerung aus dem dritten Isomorphiesatz, "von Dyck's Theorem").
Der gesuchte Normalteiler ist dann natürlich einfach der Kern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 So 28.10.2012 | | Autor: | itzepo11 |
Ich muß doch noch mal nachfragen: Ich habe Probleme damit mir vorzustellen, dass der Kern dieses Epimorphismus nicht trivial sein könnte. Gibt es ein Beispiel dafür, dass man keinen Isomorphismus $C [mm] \cong [/mm] G$ erhält?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 So 28.10.2012 | | Autor: | hippias |
Ja. Soll ich sagen? Es werde $C$ erzeugt von [mm] $c_{i}$ [/mm] mit [mm] $o(c_{i}c_{j})= [/mm] 2$, [mm] $i\neq j\in \{1,2,3\}$. [/mm] Sei $G= [mm] \times [/mm] <y>$ die Klein'sche Vierergruppe. Die Abbildung [mm] $c_{1}\mapsto [/mm] x$, [mm] $c_{2}\mapsto [/mm] y$ und [mm] $c_{3}\mapsto [/mm] 1$ laesst sich dann zu einem Epimorphismus von $C$ fortsetzen mit [mm] $1\neq c_{3}$ [/mm] im Kern.
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