Quot.-Top. + Spurtop. auf S^1 < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Do 26.05.2011 | | Autor: | marc1601 |
Hallo zusammen,
wir haben heute in der Vorlesung die Quotiententopologie eingeführt und dabei tauchte die Frage auf, ob sich diese Definition mit den bisherigen Definitionen verträgt: Der Einheitskreis [mm] $S^1$ [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] trägt ja die Teilraumtopologie von [mm] $\IC$, [/mm] also eine Teilmenge $U [mm] \subset S^1$ [/mm] ist offen, wenn eine in [mm] $\IC$ [/mm] offene Menge $O$ existiert mit [mm] $U=S^1 \cap [/mm] O$. Andererseits kann man [mm] $S^1$ [/mm] ja auch mit der Quotiententopologie versehen, wenn wir die Abbildung [mm] $p\colon \IR \to S^1$ [/mm] mit $p(x) = [mm] \exp(2\pi [/mm] i x)$ betrachten. Die Quotiententopologie bzgl. dieser Abbildung (bez. [mm] $\mathcal{T}_q$) [/mm] sollte dann ja mit der Teilraumtopologie von [mm] $S^1$ [/mm] (bez. mit [mm] $\mathcal{T}_{S^1}$) [/mm] übereinstimmen, d.h. es sollte [mm] $\mathcal{T}_q [/mm] = [mm] \mathcal{T}_{S^1}$ [/mm] gelten. Die eine Inklusion [mm] $\supseteq$ [/mm] ist dabei klar, da [mm] $\mathcal{T}_q$ [/mm] ja die feinste Topologie ist bzgl. derer $p$ stetig ist. Die Exponentialfunktion ist aber bzgl. der Standardtopologie stetig.
Die andere Inklusion will mir aber irgendwie nicht ganz gelingen. Zu zeigen wäre, dass eine bzgl. [mm] $\mathcal{T}_q$ [/mm] offene Menge sich als so ein obiger Schnitt schreiben lässt. Man kommt vielleicht weiter, wenn man irgendwie leicht zeigen kann, dass die Exponentialfunktion offen ist, aber mein Professor meinte, dass es einen ganz einfachen Weg gibt. Ich hab wohl scheinbar gerade ein Brett vor dem Kopf. Weiß jemand Rat?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Sa 28.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo zusammen,
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> wir haben heute in der Vorlesung die Quotiententopologie
> eingeführt und dabei tauchte die Frage auf, ob sich diese
> Definition mit den bisherigen Definitionen verträgt: Der
> Einheitskreis [mm]S^1[/mm] in [mm]\IC[/mm] trägt ja die Teilraumtopologie
> von [mm]\IC[/mm], also eine Teilmenge [mm]U \subset S^1[/mm] ist offen, wenn
> eine in [mm]\IC[/mm] offene Menge [mm]O[/mm] existiert mit [mm]U=S^1 \cap O[/mm].
> Andererseits kann man [mm]S^1[/mm] ja auch mit der
> Quotiententopologie versehen, wenn wir die Abbildung
> [mm]p\colon \IR \to S^1[/mm] mit [mm]p(x) = \exp(2\pi i x)[/mm] betrachten.
> Die Quotiententopologie bzgl. dieser Abbildung (bez.
> [mm]\mathcal{T}_q[/mm]) sollte dann ja mit der Teilraumtopologie von
> [mm]S^1[/mm] (bez. mit [mm]\mathcal{T}_{S^1}[/mm]) übereinstimmen, d.h. es
> sollte [mm]\mathcal{T}_q = \mathcal{T}_{S^1}[/mm] gelten. Die eine
> Inklusion [mm]\supseteq[/mm] ist dabei klar, da [mm]\mathcal{T}_q[/mm] ja die
> feinste Topologie ist bzgl. derer [mm]p[/mm] stetig ist. Die
> Exponentialfunktion ist aber bzgl. der Standardtopologie
> stetig.
> Die andere Inklusion will mir aber irgendwie nicht ganz
> gelingen. Zu zeigen wäre, dass eine bzgl. [mm]\mathcal{T}_q[/mm]
> offene Menge sich als so ein obiger Schnitt schreiben
> lässt. Man kommt vielleicht weiter, wenn man irgendwie
> leicht zeigen kann, dass die Exponentialfunktion offen ist,
> aber mein Professor meinte, dass es einen ganz einfachen
> Weg gibt. Ich hab wohl scheinbar gerade ein Brett vor dem
> Kopf. Weiß jemand Rat?
Per Definition ist doch [mm] $U\in \mathcal{T}_q$ [/mm] offen, wenn [mm] $p^{-1}(U)$ [/mm] offen bzgl. der Standardtopologie in [mm] $\IC$ [/mm] ist. Was ist [mm] $p^{-1}(U) \cap S^1$ [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Sa 28.05.2011 | | Autor: | marc1601 |
Danke erstmal für deine Antwort. Aber irgendwie passt da was glaub ich noch nicht, oder habe ich nur einen Denkfehler: Für $U [mm] \in \mathcal{T}_q$ [/mm] gilt sicherlich, dass [mm] $p^{-1}(U) \subseteq \IR$ [/mm] offen ist, aber doch bezüglich der Standardtopologie in [mm] $\IR$ [/mm] und erstmal nicht in [mm] $\IC$. [/mm] Wenn man dann den Schnitt [mm] $p^{-1}(U)\cap S^1$ [/mm] bildet kann dies doch eigentlich nur die leere Menge oder eine der folgenden sein: [mm] $\{-1\}, \{1\}$ [/mm] oder [mm] $\{-1,1\}$. [/mm] Aber die letzten Mengen sind alle nicht offen in [mm] $S^1$ [/mm] bzgl. der Teilraumtopologie. Oder hab ich irgendwo einen Denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Mo 30.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke erstmal für deine Antwort. Aber irgendwie passt da
> was glaub ich noch nicht, oder habe ich nur einen
> Denkfehler: Für [mm]U \in \mathcal{T}_q[/mm] gilt sicherlich, dass
> [mm]p^{-1}(U) \subseteq \IR[/mm] offen ist, aber doch bezüglich der
> Standardtopologie in [mm]\IR[/mm] und erstmal nicht in [mm]\IC[/mm]. Wenn man
> dann den Schnitt [mm]p^{-1}(U)\cap S^1[/mm] bildet kann dies doch
> eigentlich nur die leere Menge oder eine der folgenden
> sein: [mm]\{-1\}, \{1\}[/mm] oder [mm]\{-1,1\}[/mm]. Aber die letzten Mengen
> sind alle nicht offen in [mm]S^1[/mm] bzgl. der Teilraumtopologie.
> Oder hab ich irgendwo einen Denkfehler?
Ah, Sorry, ich meinte die Einbettung von [mm] $S^1$ [/mm] in [mm] $\IC$,
[/mm]
[mm] i:S^1 \to \IC [/mm] ,
die stetig bzgl. der Teilraumtopologie auf [mm] $S^1$ [/mm] ist. Bzgl der Quotiententopologie ist diese Einbettung genau dann stetig, wenn [mm] $i\circ [/mm] p$ stetig ist, was sie aber vermöge ihrer Definition
[mm](i\circ p)(x)= \exp(2\pi i x) [/mm]
ist.
Ist also [mm] $O\subset S^1$ [/mm] offen in der Teilraumtoplogie, so gibt es eine offene Menge [mm] $U\in \IC$, [/mm] sodass [mm] $O=U\cap S^1$ [/mm] ist. Dann ist aber auch [mm] $(i\circ p)^{-1}(U)=p^{-1}(O)$ [/mm] offen, und damit ist O offen bzgl der Quotiententopologie.
Viele Grüße
Rainer
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