Quersumme < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Do 07.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Mathefans !!!
Hab da eine Frage zu möglichem Beweisansatz:
Sei [m]a\in\IN[/m] eine beliebige natürliche Zahl.
Sei $Q$ eine Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl deren Quersumme zuordnet, d.h. [m]Q(a)=m[/m] mit [m]m\in\IN[/m]
Behauptung:
[m]a[/m] ist genau dann durch 7 teilbar, wenn der Betrag der Differenz der Quersummen von $a$ und von $a-7$ gleich zwei ist oder sieben, also $|Q(a)-Q(a-7)|=2 [mm] \vee [/mm] |Q(a)-Q(a-7)|=7$
Wie könnte man das jetzt beweisen ?
Grüße Mathmark
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Do 07.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Mathmark
Gegenbeispiel
a=358; a-7=351 Q(a)=16 Q(a-7)=9 Differenz 7 aber 358 ist nicht tb durch 7
ein Gegenbeispiel macht den Satz ungültig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo leduart !!!
Vielen Dank für deine Antwort !
Die von mir definierte Vorschrift soll die einstellige Quersumme bilden......in dem Falle wäre $16$ ja $7$ !
Aber trotzdem hast du recht !!! :-(
Vielleicht dürfte ich nicht "genau dann..." verwenden ?
Gruß Mark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo nochmal !!!
Ich hätte da noch eine andere Idee (Behauptung):
Eine Zahl [mm] $a\in\IN$ [/mm] ist genau dann durch [mm] $p\in\IN$ [/mm] teilbar,
falls $Q(a)=Q(a-9p)$, wobei [mm] $a\ge [/mm] 10p$.
Was ist damit ?
Gruß Mathmark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Fr 08.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
auch hier kann ich dir ein Gegenbeispiel nennen.
a=19, p=1.
Q(a)=10, Q(a-9=10)=1.
Oder
a=38, p=2
Q(a)=11, Q(a-18=20)=2
Dennoch sind beide Zahlen teilbar durch 1, bzw. durch 2. Das "genau dann" kann also nicht gelten.
Grüße,
BertanARG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo BertanARG !!!
Vielen Dank für deine Antwort, aber ich habe in obiger Antwort schon gesagt, dass die Abbildung $Q$ gerade nur die einstelligen Quersummen liefert (also mehrfache Anwendung) :
Folglich ist mit
a=19, p=1.
Q(a)=10 und Q(10)=1, Q(a-9=10)=1, d.h. 19 ist durch 1 teilbar
Oder
a=38, p=2
Q(a)=11 und dann Q(11)=2, Q(a-18=20)=2
womit auch 38 durch zwei teilbar ist !!!!
Gruß Mathmark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Fr 08.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
okay, das hatte ich überlesen. Deine Vermutung scheint richtig zu sein, der Beweis ist allerdings nicht ganz einfach.
Betrachtet man die absolute Quersumme aller natürlichen Zahlen, so stellt man fest, dass folgendes gilt...
[mm] AbsQ(n+1)=\begin{cases} AbsQ(n)+1, & \mbox{für } AbsQ(n)<9 \\ 1, & \mbox{für } AbsQ(n)=9 \end{cases}.
[/mm]
Das bedeutet, die Zahlen 1 bis 9 werden kontinuierlich von der Abbildung AbsQ(n) durchlaufen, n [mm] \in \IN.
[/mm]
Nun muss man noch folgendes beweisen:
a,p sei gegeben:
Dann muss
{AbsQ(a),AbsQ(a-p),AbsQ(a-2p),...,AbsQ(a-8p)}={1,2,3,...,9} sein.
Ich denke, dass kann man beweisen aufgrund der Tatsache dass 10 und 9 teilerfremd sind. Wenn ich mich richtig erinnere gab es einen Satz über Gruppen-, bzw. Körpereigenschaften in solchen Fällen.
Beispiel am Fall a=130, p=13.
Deine Behauptung: Q(a)=4, Q(a-9*13)=Q(13)=4
Und (13,26,39,52,65,78,91,104,117) haben die absoluten Quersummen (4,8,3,7,2,6,1,5,9). Und dieser Zyklus wird ständig wiederholt durchlaufen.
Viele Grüße,
Bertan
PS:
Wenn du einen Beweis hast, veröffentliche ihn doch. Würde mich jetzt auch interessieren. Gute Frage, und gute Behauptung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Fr 08.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo mathmark
ma kann durch rumprobieren im unteren Bereich der Zahlen ne menge Vermutungen aufstellen. Dann sollen andere Ein gegenbeispiel finden! oder den Beweis.
Du musst schon wenigstens ein Argument angeben, wie du auf deine vermuteten Formeln kommst, damit sich auch nur lohnt, darüber nachzudenken.
Schreib wenigstens ein programm, das das auch mal für große Zahlen p ausprobiert, (soll p prim sein?) also wenigstens [mm] 10^6 [/mm] Experimente. mit p auch mal [mm] >10^6.
[/mm]
Ich glaub nicht an das Quersummenargument, aber es gibt ja auch keinen Grund dazu!
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo leduart !!!
Die Sache ist die, dass ich von mir aus behaupte, die Vermutung sei war.
Nun möchte ich sie beweisen......doch wie ?
Mache ich das über Modulformen ?
Bräuchte nur'n Ansatz
Den Ansatz zu meiner Vermutung liefert die Neunerprobe !!
Grüße Mathmark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 Fr 08.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi nochmal,
die Vermutung ist sicher richtig. Sind p und 9 teilerfremd, so gilt stets
{AbsQ(a),...,AbsQ(a-8p)}={1,...,9}. Aufgrund der Teilerfremdheit durchlaufen alle durch p teilbaren Zahlen stets denselben Zyklus.
Mir ist nämlich aufgefallen, dass folgendes gilt:
AbsQ(n*a)=Mod(n*a,9), mit der Konvention dass AbsQ(n*a)=9, falls Mod(n*a,9)=0 ist. Sind p und 9 teilerfremd so hat der Restklassenzyklus aller Vielfachen von p die Periodenlänge 9.
Sind p und 9 nicht teilerfremd, so hat der Zyklus die Periondenlänge 3. Somit ist nach 9 Durchläufen wieder der erste Wert vorhanden, wodurch AbsQ(a-9*p) = AbsQ(a), bzw. Mod(a-9*p,9)=Mod(a,9) wieder erfüllt ist.
Viele Grüße,
BertanARG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo BertanARG !!!
Wofür steht bei AbsQ(a) das Abs ?
Gruß Mathmark
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Hi,
absolute Quersumme. Bei 879 wäre Q(879)=24, und AbsQ(879)=6. Ich wollte nur wieder Mißverständnisse vermeiden.
Grüße,
BertanARG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hi,
Hab das mal überprüft......
Könnte man das nicht kürzer fassen, also: Für alle [mm] $a\in\IN$ [/mm] gilt AbsQ(a)=Mod(a,9) ?
natürlich mit angegebener Konvention
Gruß Mark
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Ja klar,
das ist mir im Nachhinein auch aufgefallen. Ich bin darauf gekommen, weil ich die Vielfachen einer Zahl untersucht habe.
Deswegen hatte ich noch das n*a darin.
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Hi,
und noch etwas ist nicht ganz richtig. Ist p ein Vielfaches von 9, so hat der Zyklus nur noch Periodenlänge 1. Alle anderen p, die nicht teilerfremd mit 9 sind, haben Periodenlänge 3.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Na super !!!
Dann könnte man die Behauptung doch wie folgt umformulieren:
Eine Zahl [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist genau dann durch [mm] $p\in\IN$ [/mm] teilbar, falls [mm] $n\ge [/mm] 10p$ und $mod(n,9)=mod(n-9p,9)$.
Oder ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hey und es gilt auch (muss man auch noch beweisen):
Für jede natürliche Zahl [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt:
$n-AbsQ(n)$ ist durch $9$ teilbar
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Hi,
ja, kann man beides so ausdrücken. Warum hast du dich überhaupt damit beschäftigt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo BertanARG !!!
Beschäftige mich mit Primzahlen......(und Collatz-Vermutung)
Ich glaube, oder vermute, dass viele ungeklärte Eigenschaften der Primzahlen in den Quersummen steckt.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo nochmal !!!
Gibts denn ebenso eine Modulform, so dass mir
mod(blablabla)=Q(a) liefert (also nicht die absolute Quersumme) ?
Gruß Mathmark
P.S.
Weiter oben wurde ja gesagt $AbsQ(a)=mod(a,9)$
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Hi,
ich denke nicht, dass es mit Modulformen gehen wird, da es keinen klaren Zyklus gibt wie im Fall der absoluten Quersumme.
Du kannst dir ja mal in Excel die Quersumme und die absolute Quersumme ausgeben lassen.
Die Quersummen weisen auch einen interessanten Zyklus auf. Während die Abbildung AbsQ(n) jedoch periodisch ist, wächst Q(n) gegen unendlich. Wenn auch extrem langsam.
Daher wirst du keine entsprechende Modulofunktion finden können, da diese stets zyklisch und immer begrenzt sind. Vielleicht kann man aber mit einem Korrekturterm, der wiederum von n, aus Q(n) abhängt eine Modulofunktion basteln.
Also irgendwas in der Form:
Q(T(n))=Mod(n,p)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo !!!
Also vielen, vielen Dank erstmal für deine tatkräftige Unterstützung.
Schreibt man sämtliche Zahlen mal auf und zwar nach dem Schema, in dem man alle Zahlen untereinander schreibt, die dieselbe Quersumme besitzen.
Dann verschiebt sich ab der zweiten Zeile (also ab 20) die Spalte um eins nach rechts (im Grunde bildet sich ein nach links gerichtetes Parallelogramm  )
Damit besitzen dann ja 2 Zahlen die Quersumme 1, 3 Zahlen die Quersumme 2, 4 Zahlen die Quersumme 3,.........n-Zahlen die Quersumme n-1 (mit n<100)
Ab 100 müsste man dann ein neues Parallelogramm konstruieren
Gruß Mathmark
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Fr 08.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist die Frage? und was der Sinn davon, die Zahlen so aufzuschreiben. nach je 9 Zahlen wiederholt sich die reduzierte Qs. nicht nach 10, wenn du das im 10-erSystem unglücklich aufschreibst sieht es schief aus. jede 9-te Zahl ist durch 9 teilbar, alle durch 9 teilbaren Zahlen haben die reduzierte QS 9. (teilbarkeitsregel für 9)
was du mit den Anzahlen bestimmter Qs meinst versteh ich nicht?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo leduart !
Du solltest es dir vielleicht wirklich mal aufschreiben.....
Worüber du sprichst sind ja gerade die reduzierten Quersummen !
Ich meine vielmehr, dass z.B. 19 die Quersumme 10 liefert, aber eben nicht 1.
Von daher benötige ich eine neue Spalte mit Quersumme 10. Also verschiebt es sich !!!
Ich werde im Intervall [mm] [1,100)$\subset\IN$ [/mm] nur 2 Zahlen finden, die die Quersumme 1 besitzen.................und nur 3 Zahlen mit der Quersumme 2.....usw....
Ich hoffe du verstehst jetzt die Notationsweise (es geht diesmal nicht um absQ(a) sondern um die Quersumme nach einmaliger Ausführung.....)
Gruß Mathmark
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Um zu wissen, was andere wissen, muss man wissen, wie man andere dazu bringt, das zu wissen, was man selbst weiss !!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo !!!
Vermutung stimmt leider nicht !!!!
Setze a=345678 und p=7
dann ist mod(a,9)=6 und mod(a-9p,9)=6
aber [mm] $345678/7\not\in\IN$
[/mm]
Schade !!!!
Gruß Mathmark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Sa 09.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
okay. Dann gilt die Rückrichtung der Behauptung nicht sondern nur die Hinrichtung.
Also:
a ist durch p teilbar [mm] \Rightarrow [/mm] AbsQ(a)=AbsQ(a-9p)
und die Rückrichtung gilt nicht i.A.
Jetzt interessiert mich der Beweis, dass die Rückrichtung nicht zwangsläufig gelten muss. Oder genauer gesagt: Unter welchen Voraussetzungen gilt die Rückrichtung, und unter welchen gilt sie nicht.
Grüße,
BertanARG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo BertanARG !!!!
Vielen Dank für deine Mitarbeit !
Bin auch weiter am rumprobieren......
Vielleicht kann man gewisse Zahlen ausgrenzen oder zusätzlich eine Einschränkung einbauen...?
Was wäre beispielsweise, wenn man nicht die absolute, sonder die "erste" Quersumme vergleicht.........werd das mal untersuchen
Meld mich wieder
Gruß Mathmark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Servus !!!
Vielleicht gilt ja (muss ich noch mehrfach überprüfen):
Wenn $Q(a)=n$ und $Q(a-9p)=m$, mit $absQ(a)=absQ(a-9p)$ aber
$n>m$, dann gilt das Teilungskriterium nicht.
Falls aber $m>n$ gilt, dann trifft es doch zu.
Beispiel:
1) $a=345678$ und $p=7$
Dann ist $Q(a)=33$ und $Q(a-9p)=24$, aber $absQ(a)=absQ(a-9p)$.
2) $a=140$ und $p=7$
Dann ist $Q(a)=5$ und $Q(a-9p)=14$, aber $absQ(a)=absQ(a-9p)$
Gruß Mathmark
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Di 12.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo !!!
Hat keiner eine Idee, wie man beweistechnisch da rangehen kann ?
Gruß Mathmark
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> Hallo !!!
>
> Hat keiner eine Idee, wie man beweistechnisch da rangehen
> kann ?
Hallo,
im vorhergehenden post schriebst Du
>> Vielleicht gilt ja (muss ich noch mehrfach überprüfen): [...]
Hast Du Deine Behauptung in nennenswertem Umfang getestet (also nicht nur 50 Fälle)?
Hast Du Beweisansätze? (Und: kannst Du mal genau aufschreiben, was Du eigentlich beweisen möchtest?)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Di 12.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
teste deine Behauptung mit einem Programm für alle Zahlen von 1 bis 1000000 von mir aus.
Ich habe mir folgendes überlegt... für die ersten 77 Zahlen haben wir ja die absoluten Quersummen...
1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7
Die fettgedruckten sind die absoluten Quersummen der durch 7 teilbaren Zahlen. 70 hat dieselbe Restklasse wie 7, nämlich 7. Dann beginnt der Zyklus von vorne.
Meine Vermutung ist, den Zyklus nicht durch 7 teilbarer Zahlen zu testen. Da ja stets a mit a-9p verglichen wird, pei p=7 also a mit a-63, könnte ein Zyklus mit einer Periode ungleich 7 irgendwann dieselben Werte aufweisen.
Ich teste diese Vermutung aber selbst einmal mit einem Programm.
Hab grad aber nicht mehr so viel Zeit, deine Behauptung auch zu testen. Schreib am besten mal ein Programm um das zu testen.
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Hi,
in deinem Gegenbeispiel waren bereits zwei durch 3 teilbare Zahlen mit von der Partie.
Mir ist gerade aufgefallen, dass hier im Fall p=7 für alle durch 3 teilbaren Zahlen gilt:
AbsQ(a)=AbsQ(a-9*7)=AbsQ(a-9*3)=AbsQ(a-9k), für alle k=0,1,2,3...
Beispiel:
a=66
a-9*3=66-27=39 ist durch 3 teilbar
a-9*7=66-63=3 ist durch 3 teilbar
Dadurch ist AbsQ(66)=3, AbsQ(66-9*7=3)=3
Zudem gilt für alle [mm] k\in \IN [/mm] AbsQ(a)=AbsQ(a-9*k). Dabei muss a nicht durch k teilbar sein.
Der Grund: Der Restklassenzyklus von 3 zur Basis 9 durchläuft nur die Werte 3,6,0. Die Absolutbeträge also 3,6 und 9.
Zusammengefasst:
Ist a eine durch 3 teilbare Zahl. Dann gilt für alle k=0,1,2,...
AbsQ(a)=AbsQ(a-9*k).
Das gilt insbesondere auch für Zahlen die NUR durch 3 (und eine weitere Zahl) teilbar sind.
Ich vermute ähnliches für durch 6 teilbare Zahlen. Hier allerdings mit einer Einschränkung:
a durch 6 teilbar. a-9*p ist ebenfalls durch 6 teilbar, aber nicht zwangsläufig durch p, wenn p gerade ist.
Das heißt:
Ist a durch 6 teilbar. Dann gilt für alle k=0,2,4,6,...
AbsQ(a)=AbsQ(a-9*k), auch wenn a nicht durch k teilbar ist.
Für Zahlen, die weder durch 3,6 oder 9 teilbar sind könnte die Behauptung stimmen. Das müsste man aber noch beweisen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Di 12.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
ich wollt nochmal was hinzufügen.
Du kannst Beispiele finden, für die die Behauptung nicht gilt, indem du so vorgehst.
1. Nimm eine Primzahl, z.B. 29.
2. 29*3=87 ist echt nur durch 3 und 29 teilbar.
3. 87-9*7=24 ist durch 3 teilbar, aber nicht durch 7.
4. AbsQ(87)=6=AbsQ(87-9*7=24).
oder mit 6
1. Nimm eine Primzahl, z.B. 31.
2. 31*6=186 ist echt nur durch 6 und 31 teilbar (natürlich auch durch 3 und 2).
3. 186-9*4=150 ist durch 6 teilbar, aber nicht durch 4.
4. AbsQ(186)=6=AbsQ(186-9*4=150).
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Gegenbeispiel zu deiner Vermutung:
1. Primzahl 29
2. a=3*29=87
3. a-9*3=60
4. Q(a)=15, Q(a-9*3)=6, AbsQ(a)=6=AbsQ(a-9*3)
Das heißt, die Vermutung trifft auch zu, wenn Q(a)>Q(a-9p) ist.
Ferner
1. Primzahl 307
2. a=3*307=921
3. a-9*7=858
4. Q(a)=12, Q(a-9*7)=21, AbsQ(a)=3=AbsQ(a-9*7)
Die Teilbarkeitsregel trifft nicht zu, obwohl Q(a)<Q(a-9p)
kurze Zusammenfassung:
Sei [mm] a,k_0\in \IN
[/mm]
zu widerlegen ist: AbsQ(a)=AbsQ(a-9p) [mm] \Rightarrow \bruch{a}{p} \in\IN
[/mm]
Beweis durch Widerspruch:
(i) sei [mm] \bruch{a}{3}\in\IN,\bruch{a}{k_0}\not\in\IN \Rightarrow [/mm] AbsQ(a)=AbsQ(a-9k) [mm] \forall k\in\IN_0 \Rightarrow \bruch{a}{k_0}\in\IN
[/mm]
WIDERSPRUCH
(ii) sei [mm] \bruch{a}{6}\in\IN,\bruch{a}{2k_0}\not\in\IN \Rightarrow [/mm] AbsQ(a)=AbsQ(a-9k) [mm] \forall k\in2\IN_0 \Rightarrow \bruch{a}{2k_0}\in\IN
[/mm]
WIDERSPRUCH
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Servus !!!
mit deinem Beweis (i) bin ich eigentlich nicht so ganz einverstanden.
Zitat:
"Beweis durch Widerspruch:
(i) sei $ [mm] \bruch{a}{3}\in\IN,\bruch{a}{k_0}\not\in\IN \Rightarrow [/mm] $ AbsQ(a)=AbsQ(a-9k) $ [mm] \forall k\in\IN_0 \Rightarrow \bruch{a}{k_0}\in\IN [/mm] $
WIDERSPRUCH"
Wenn [mm] $\frac{a}{k_0}\not\in\IN$, [/mm] dann ist [mm] $k_0$ [/mm] kein Teiler von $a$, dürfte [mm] $absQ(a)=absQ(a-9k_0)$ [/mm] nicht gelten
Gruß Mathmark
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Mi 13.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
Beh.: AbsQ(a)=AbsQ(a-9p) [mm] \Rightarrow \bruch{a}{p}\in\IN
[/mm]
du wählst a aus [mm] \IN, [/mm] welches durch 3 teilbar ist. Daraufhin wählst du irgendein [mm] k_0 [/mm] aus [mm] \IN, [/mm] durch das a nicht teilbar ist (irgendein [mm] k_0 [/mm] wird es immer geben!).
Weil für ein durch 3 teilbares a aus [mm] \IN [/mm] für alle k AbsQ(a)=AbsQ(a-9k) gilt, so gilt es auch für [mm] k_0.
[/mm]
Und das würde bedeuten, dass a durch [mm] k_0 [/mm] teilbar ist, wenn die Behauptung wahr wäre.
Das sieht man doch an den Gegenbeispielen.
Sei a=87, [mm] k_0=5
[/mm]
AbsQ(a)=6, AbsQ(a-9*5=87-45=42)=6
Aber a ist nicht durch 5 teilbar!
Der Widerspruch gilt für alle [mm] k_0\in\{2,4,5,6,7,8,9\}
[/mm]
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo erstmal !!!
Vielleicht klingt das ein wenig witzig anhand des langen Forumbeitrages, aber noch mal von vorn:
1. Es stimmt doch, dass für alle [mm] $a\in\IN$, [/mm] $a>9$ gilt: [mm] $\exists k_a\in\IN$, [/mm] also ein [mm] $k\in\IN$ [/mm] in Abhängigkeit von $a$, so dass [mm] $a-Q(a)=9\cdot k_a$
[/mm]
und
2. [mm] $Q(a)-Q(a-Q(a))=Q(a)-Q(9\cdot k_a)=absQ(a)$, [/mm] (ob man den Betrag für die Differenz benötigt, gilt es noch zu überprüfen).
Nun habe ich mich gefragt, ob die Abbildung $Q$ linear ist. Nach einigen Tests habe ich rausgefunden, dass es nur eingeschränkt so ist.
Es gilt:
a) $absQ(a+b)=absQ(absQ(a)+absQ(b))$
b) [mm] $absQ(a\cdot b)=absQ(absQ(a)\cdot [/mm] absQ(b))$
Vermutung:
Falls $Q(a)+Q(b)<10$ und [mm] $Q(a)\cdot [/mm] Q(b)<10$, dann gilt
a*) $Q(a+b)=Q(a)+Q(b)$
b*) [mm] $Q(a\cdot b)=Q(a)\cdot [/mm] Q(b)$
Obwohl ich glaube, dass die Vermutung offensichtlich ist !
Gruß Mathmark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Sa 16.06.2007 | | Autor: | wauwau |
Was von diesen Punkten ist schon bewiesen (durch Tests rausgefunden?) ist noch kein Beweis???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo wauwau !!!
Bisher ist davon noch nichts bewiesen (stell ich mir arroganter weise aber nicht sonderlich schwer vor).
Es handelt sich vielmehr um vorerst theoretische, bzw. analytische Annahmen, die später als kompaktes Thema zusammengeführt sowie bewiesen werden.
Für Gedanken-, bzw. Ideenbeteiligung wenn nicht sogar Beweisideen, wäre ich auch sehr dankbar !!!
Gruß Mathmark
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Sa 16.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man weiss, dass a und Q(a) immer denselben Neunerrest haben, sind deine aussagen glaub ich trivial, denn Reste addieren sich immer und und Rest(a*b)=a*Restb üsw.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo leduart !!!
Deine Aussage habe ich jetzt ehrlich gesagt nicht ganz verstanden....
Ich meine eigentlich nicht den Neunerrest......vielmehr die Quersumme (Q(a))
Gruß Mathmark
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:04 So 17.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab vorrausgesetzt, dass es bekannt ist, dass der neunerrest einer Zahl und ihrer Quersumme mod9 gleich sind, d.h. Neunerrest der reduzierten Quersumme ist gleich.
Gruss leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:27 So 17.06.2007 | | Autor: | wauwau |
richtig,
in der gegenständlichen Notation
AbsQ(a)=mod(a,9) wenn du AbsQ(9)=0 setzt....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 So 17.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Zitat (@wauwau):
"richtig,
in der gegenständlichen Notation
AbsQ(a)=mod(a,9) wenn du AbsQ(9)=0 setzt...."
-----------------------------------------
Nur der Form halber:
AbsQ(a)=mod(a,9), mit der Konvention AbsQ(9k)=9=mod(9k,9)+9, für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm]
Gruß Mathmark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 So 17.06.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo mal wieder.....
Um Missverständnisse zu vermeiden - hab ein Buch heute geschenkt bekommen und bin dann auf folgendes gestoßen:
ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE (Remmert/Ulrich, Birkhäuser 1987)
Zunächst die Konvention einer g-adischen Darstellung einer Zahl:
Sei [mm] $a\in\IN$ [/mm] (der Fall $a=0$ fällt ja wohl weg) beliebig, dann ist
[mm] $a=\sum_{v=0}^n q_vg^v$ [/mm] gerade ihre g-adische Darstellung.
Lemma:
Folgende Aussagen über drei ganze Zahlen $a,b,m$, wobei $m>0$, sind äquivalent:
i) $a$ und $b$ lassen bei Division mit Rest durch m denselben Rest.
ii) Die Differenz $a-b$ ist durch $m$ teilbar.
iii) [mm] $a-b\in\IZ [/mm] m$
(Beweis: Setze [mm] $a=q_1m+r_1, 0\le r_1 [/mm] < m$ und [mm] $b=q_2m+r_2, 0\le r_2 [/mm] <m$.)
Kongruenzrelationen sind Äquivalenzrelationen !
Rechenregeln für Kongruenzen:
Es sei $R$ ein Ring und [mm] $\alpha$ [/mm] ein Ideal in $R$. Weiterhin seien [mm] $a,a',b,b'\in [/mm] R$ und es gelte: [mm] $a\equiv [/mm] b$ mod [mm] $(\alpha)$ [/mm] und [mm] $a'\equiv [/mm] b'$ mod [mm] $(\alpha)$.
[/mm]
Dann folgt:
1) [mm] $a+a'\equiv [/mm] b+b'$ mod [mm] $(\alpha)$, $a-a'\equiv [/mm] b-b'$ mod [mm] $(\alpha)$
[/mm]
2) [mm] $a\cdot a'\equiv b\cdot [/mm] b'$ mod [mm] $(\alpha)$
[/mm]
Satz:
Für jede Zahl [mm] $a\in\IN,a>0$ [/mm] und jede Grundzahl [mm] $g\ge [/mm] 2$ bestehen die Kongruenzen
[mm] $a\equiv Q_g(a)$ [/mm] mod $(g-1)$, [mm] $a\equiv [/mm] Q'_g(a)$ mod $(g+1)$
wobei [mm] $Q_g(a)$ [/mm] die g-adische Quersumme von $a$ und $Q'_g(a)$ die alternierende g-adische Quersumme von $a$ ist, d.h.
[mm] $Q_g(a)=q_0+q_1+\cdot\cdot\cdot q_n$
[/mm]
[mm] $Q'_q(a)=q_0-q_1+q_2-\cdot\cdot\cdot+(-1)^nq_n$. [/mm]
(Beweis ist Folgerung aus den Rechenregeln)
Korollar:
Für jede Grundzahl [mm] $g\ge [/mm] 2$ und für alle [mm] $a,b\in\IN$ [/mm] (natürlich ohne Null) gilt:
1.) [mm] $Q_g(a+b)\equiv Q_g(a)+Q_g(b)$ [/mm] mod $(g-1)$
2.) [mm] $Q_g(a\cdot b)\equiv Q_g(a)\cdot Q_g(b)$ [/mm] mod $(g-1)$
3.) [mm] $Q'_g(a+b)\equiv [/mm] Q'_g(a)+Q'_g(b)$ mod $(g+1)$
4.) [mm] $Q'_g(a\cdot b)\equiv Q'_g(a)\cdot [/mm] Q'_g(b)$ mod $(g+1)$.
Beweisbar mit dem Satz und den Rechenregeln !
Also heißt das dann z.B. im Dezimalsystem
[mm] $Q(a+b)\equiv [/mm] Q(a)+Q(b)$ mod $9$....
Dies ist die Grundlage für die Neunerprobe (bzw. Elferprobe).
Gruß Mathmark
P.S.:
Mein Interesse gilt vielmehr der Relation "=" und nicht der Kongruenzrelation !
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