Quersum durch 3 teilbar Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:29 Di 13.12.2011 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | | Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (in der Dezimal-Darstellung) durch 3 teilar ist. |
Also hab da nun folgenden Ansatz:
[mm] x=x_1*10^n+...+x_n_+_1 *10^0
[/mm]
[mm] =x_1*((10^n-1)+1)+...+x_n_+_1
[/mm]
[mm] =x_1*((10^n-1)+..+x_n((*10^1)+x_1+...+x_n
[/mm]
Dann hätte man ja vorne aufgrund der Teilerregeln alles Zahlen stehen, die durch 3 teilbar sind und ganz hinten steht dann noch die Quersumme angefügt.
Heißt also: Wenn die durch 3 teilbar ist, dann ist auch die ganze Zahl teilbar oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:24 Di 13.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn
> ihre Quersumme (in der Dezimal-Darstellung) durch 3 teilar
> ist.
>
> Also hab da nun folgenden Ansatz:
>
> [mm]x=x_1*10^n+...+x_n_+_1 *10^0[/mm]
>
> [mm]=x_1*((10^n-1)+1)+...+x_n_+_1[/mm]
> [mm]=x_1*((10^n-1)+..+x_n((*10^1)+x_1+...+x_n[/mm]
>
> Dann hätte man ja vorne aufgrund der Teilerregeln alles
> Zahlen stehen, die durch 3 teilbar sind und ganz hinten
> steht dann noch die Quersumme angefügt.
> Heißt also: Wenn die durch 3 teilbar ist, dann ist auch
> die ganze Zahl teilbar oder?
ich kann das nicht alles so ganz gut erkennen - evtl. fehlt da auch bei [mm] $x((*10^1))$ [/mm] am Ende eine [mm] $-1\,$?
[/mm]
Aber der Ansatz ist natürlich korrekt:
Sei [mm] $x\,$ [/mm] eine [mm] $n\,$-stellige [/mm] natürliche Zahl, $n [mm] \ge 1\,.$ [/mm] (Bei Dir oben war es eher eine $n+1$-stellige Zahl mit $n [mm] \ge 0\,.$) [/mm]
Dann kann man [mm] $x\,$ [/mm] darstellen als
[mm] $$x=\sum_{k=0}^{n-1}x_k*10^k\,,$$
[/mm]
wobei alle [mm] $x_k \in \{0,\ldots,9\}\,.$
[/mm]
Daher folgt
[mm] $$x=\underbrace{\left\{\sum_{k=1}^{n-1}x_k*(10^k-1)\right\}}_{=:S}+\underbrace{\sum_{k=0}^{n-1}x_k}_{=:QS}\,.$$
[/mm]
Daraus kann man nun die Behauptung folgern, denn:
In der Schreibweise
[mm] $$x=S+QS\,$$
[/mm]
ist $QS$ gerade die Quersumme (bitte nicht als [mm] $Q*S\,$ [/mm] lesen: die Variable nennen ich aus bezeichnungstechnischen Gründen [mm] $QS\,,$ [/mm] wie Quersumme).
Sogar für jedes natürlich $k [mm] \ge [/mm] 1$ ist [mm] $10^k-1$ [/mm] durch [mm] $3\,$ [/mm] (sogar durch [mm] $9\,$) [/mm] teilbar (das ist zwar eigentlich auch unmittelbar klar, weil eine solche Zahl "aus lauter 9en zusammengesetzt ist", aber einen sauberen Beweis erzielt man etwa mittels vollständiger Induktion). Der erste Summand [mm] $S\,$ [/mm] ist (als Summe von durch [mm] $3\,$ [/mm] (sogar durch [mm] $9\,$) [/mm] teilbaren Zahlen) daher dann sicherlich durch [mm] $3\,$ [/mm] (sogar durch [mm] $9\,$) [/mm] teilbar.
Daher ist [mm] $x\,$ [/mm] genau dann [mm] $3\,$ [/mm] teilbar, wenn "der verbleibende Summand" [mm] $QS\,$ [/mm] das auch ist - und das ist dann genau die Behauptung.
Alternativ:
Du könntest auch mittels allg.binomischer Formel schreiben
[mm] $$x=\sum_{k=0}^{n-1}x_k(9+1)^k =\sum_{k=0}^{n-1} x_k\sum_{\ell=0}^k{k \choose \ell} 9^{\ell} *\underbrace{1^{k-\ell}}_{=1}=\sum_{k=0}^{n-1} x_k\sum_{\ell=1}^k{k \choose \ell} 9^{\ell}+\sum_{k=0}^{n-1} x_k{k \choose 0} 9^{0}=\sum_{k=0}^{n-1} x_k\sum_{\ell=1}^k{k \choose \ell} 9^{\ell}+\underbrace{\sum_{k=0}^{n-1} x_k}_{=:QS}\,.$$
[/mm]
Hier argumentiert man natürlich genauso wie oben, braucht aber eigentlich keinen Induktionsbeweis, um zu sehen, dass der erste Summand stets durch [mm] $3\,$ [/mm] (bzw. sogar durch [mm] $9\,$) [/mm] teilbar ist.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Amiaz |
Könnte man dies auch für andere b-adische darstellungen machen? also z.b. b=2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Könnte man dies auch für andere b-adische darstellungen
> machen? also z.b. b=2?
was verstehst Du unter "dies"? Bei dyadischen Darstellungen ist ja schon die Frage, weil Zahlen dann ja nur "aus den Zifferen [mm] $0\,$ [/mm] bzw. [mm] $1\,$ [/mm] zusammengesetzt sind", was Du dann unter der Teilbarkeit durch 3 verstehst? Division durch die dyadische Zahl [mm] $11=11_2$ [/mm] (der Index $_2$ soll betonen, dass das die binäre Darstellung ist) bzw. in Dezimaldarstellung [mm] ${...}_{10}$ [/mm] (was $_{10}$ andeutet, ist nun sicherlich klar - meist schreiben wir dies nicht mehr hin, da das die "übliche" Zahldarstellung ist)
[mm] $$11_2={1}_{10}*({2}_{10})^1+1_{10}*({2}_{10})^0=2_{10}+1_{10}=3_{10}=3\;\;\;?$$
[/mm]
Oder geht's Dir nur drum, ob bzw. wie man jede reelle Zahl in ihre binäre Darstellung umrechnet bzw. umrechnen kann? Nur mal nebenbei: Witzig dabei ist ja, dass es "in Dezimalbruchdarstellung abbrechende Darstellungen gibt, die in binärer Darstellung nicht abbrechend sind". Naja, aber erstmal geht's darum, dass Deine Frage so formuliert wird, dass man überhaupt weiß, was Du wissen willst. Denn "dies" oben macht so erstmal gar keinen Sinn - weil gar nicht klar ist, was Du meinst...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Mi 14.12.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin Gnocchi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da schau her.
vg Luis
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