Quaternionengruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Di 07.10.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | Betrachten Sie die folgende Bijektion von 8-elementigen Mengen,
[mm] \psi [/mm] : [mm] {\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k} \to \{ \pm \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, \pm \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i }, \pm \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }, \pm \pmat{ 0 & i \\ i & 0 } \},
[/mm]
[mm] \pm [/mm] 1 [mm] \mapsto \pm \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, \pm [/mm] i [mm] \mapsto \pm \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i }, \pm [/mm] j [mm] \mapsto \pm \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }, \pm [/mm] k [mm] \mapsto \pm \pmat{ 0 & i \\ i & 0 }.
[/mm]
Zeigen Sie, dass durch die Matrizenmultiplikation und durch [mm] \psi [/mm] eine Verknüpfung auf der ersten Menge definiert ist, mit der sie zu einer Gruppe wird.
Geben Sie die Verknüpfungstafel an. Die Gruppe heißt Quaternionengruppe.
Geben Sie alle Untergruppen der Quaternionengruppe an und zeigen Sie, dass alle Normalteiler sind.
Geben Sie die Isomorphieklassen der Quotientengruppen an.
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Hallo liebe Mathefreunde,
Diese Aufgabe hört sich zwar "machbar" an ... aber leider verstehe ich noch nicht allzu viel von Normalteilern und der ganzen Gruppentheorie. Das theoretische Zeug habe ich zwar vor mir liegen, aber ich kann es leider nicht in die Praxis umsetzten.
Könnt ihr mir bitte, bitte *please* mal wieder weiterhelfen?
Wie soll ich an diese Aufgabe rangehen?
Was ist in der ersten Aufgabenstellung mit "der ersten Menge" gemeint? Soll ich die einzelnen Matrizen miteinander multiplizieren und dann die Gruppeneigenschaften nachweisen?
Und wie soll ich eine Verknüpfungstafel angeben?
Wäre euch für jeden Rat und Tipp sehr dankbar,
Liebe Grüße
Kittycat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Betrachten Sie die folgende Bijektion von 8-elementigen Mengen,
> [mm]\psi[/mm] : [mm]\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\} \to \{ \pm \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, \pm \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i }, \pm \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }, \pm \pmat{ 0 & i \\ i & 0 } \}[/mm].
>
> Zeigen Sie, dass durch die Matrizenmultiplikation und durch
> [mm]\psi[/mm] eine Verknüpfung auf der ersten Menge definiert ist, mit der sie zu einer Gruppe wird.
> Geben Sie die Verknüpfungstafel an. Die Gruppe heißt Quaternionengruppe.
> Was ist in der ersten Aufgabenstellung mit "der ersten Menge" gemeint?
[mm]\{{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}[/mm].
> Soll ich die einzelnen Matrizen miteinander multiplizieren und dann die Gruppeneigenschaften nachweisen?
Ja.
> Und wie soll ich eine Verknüpfungstafel angeben?
Durch [mm] \psi [/mm] ist eine Bijektion gegeben. Wenn du z.B. [mm]i \circ (-k)[/mm] berechnen willst, dann berechnest du [mm]\psi^{-1}(\psi(i)*\psi(-k))[/mm]. So kannst du aus der ersten Menge eine Gruppe machen.
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