Quantifizierung einer Aussage < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 So 26.10.2008 | | Autor: | jeremia |
| Aufgabe | Wir betrachten über dem Grundbereich der natürlichen Zahlen die Aussageform:
H(a,b,c):Wenn a < b und b < c, so a < c.
Überführen Sie diese Aussageform durch Quantifizierung mit "für alle" und "es gibt" in Aussagen. |
Hallo,
mir ist klar, dass die Aussage wahr ist... aber wie gehe ich an die Aufgabe ran, um sie zu quantifizieren? Vielleicht kann mir ja jemand helfen?
Meine Idee lautet ungefähr so:
[mm] \forall [/mm] a [mm] \forall [/mm] b [mm] \forall [/mm] c (H(a,b,c)) (H(a)) < (H(b)) [mm] \wedge [/mm] (H(b)) < (H(c)) [mm] \Rightarrow [/mm] (H(a)) < (H(c))
Ich habe diese Frage heute in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!
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> Wir betrachten über dem Grundbereich der natürlichen Zahlen
> die Aussageform:
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> H(a,b,c):Wenn a < b und b < c, so a < c.
>
> Überführen Sie diese Aussageform durch Quantifizierung mit
> "für alle" und "es gibt" in Aussagen.
> Meine Idee lautet ungefähr so:
>
> [mm]\forall[/mm] a [mm]\forall[/mm] b [mm]\forall[/mm] c (H(a,b,c)) (H(a)) < (H(b))
> [mm]\wedge[/mm] (H(b)) < (H(c)) [mm]\Rightarrow[/mm] (H(a)) < (H(c))
>
hallo Jeremia,
ich denke, alle die H's kannst du (bzw. solltest du) weglassen.
Dann hätten wir:
[mm]\forall[/mm] a [mm]\forall[/mm] b [mm]\forall[/mm] c ( (a<b [mm]\wedge[/mm] b<c) [mm]\Rightarrow[/mm] a<c)
Vielleicht solltest du in die Zeile auch noch einbringen, dass
die Allquantoren sich auf die Grundmenge [mm] \IN [/mm] beziehen.
Ich weiss nicht, wie ihr das genau notiert habt. Eine Möglich-
keit wäre:
[mm](\forall a \in \IN)(\forall b \in \IN)(\forall c \in \IN) ( (a
Schönen Sonntag ! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 So 26.10.2008 | | Autor: | jeremia |
| Aufgabe | Wir betrachten über dem Grundbereich der natürlichen Zahlen die Aussageform
H(a): 3 ist ein Teiler von 2a genau dann, wenn 3 ein Teiler von a ist.
Überführe diese Aussageform durch Quantifizierung mit "für alle" und "es gibt" in Aussagen. |
Vielen Dank für die Beantwortung der vorhergehenden Frage... aber wie geht man an solch eine Aufgabe logisch ran?
Ich habe z.B. eine zweite oben notiert, aber wie gehe ich vor?
Schaue ich mir zuerst die Variable a an und schreibe: für alle a gilt also
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IN [/mm] ... und dann weiter? Es muss doch so eine generelle Herangehensweise geben...? Wie setzt du die Aussage logisch zusammen?
Vielleicht kannst du mir die einzelnen Schritte mitteilen...
Schönen Sonntag noch...
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> Wir betrachten über dem Grundbereich der natürlichen Zahlen
> die Aussageform
>
> H(a): 3 ist ein Teiler von 2a genau dann, wenn 3 ein Teiler
> von a ist.
>
> Überführe diese Aussageform durch Quantifizierung mit "für
> alle" und "es gibt" in Aussagen.
Es kommt darauf an, ob z.B. die Schreibweise 3|a für die
Aussage "3 ist ein Teiler von a" zugelassen ist. Wenn ja, ist
es einfach; dann kann man einfach schreiben:
[mm] $\forall\ a\in \IN\ [/mm] (3|(2*a) [mm] \gdw [/mm] 3|a$)
So simpel ist es aber wahrscheinlich nicht gemeint, also muss
man sich klar machen, was die Aussage "3 ist ein Teiler von a"
mit Quantoren ausgedrückt heisst. Sprachlich heisst dies doch:
"Es gibt eine natürliche Zahl t, für welche 3*t=a ist", formal
notiert:
[mm] $\exists\ t\in \IN\ [/mm] (3*t=a)$
Die gesamte Aussage wäre dann:
[mm] $\forall\ a\in \IN\ \left((\exists\ u\in \IN\ (3*u=2*a))\gdw(\exists\ t\in \IN\ (3*t=a)\right)$
[/mm]
(ich habe der Deutlichkeit halber zwei verschiedene Hilfsvariablen
t und u verwendet - das wäre aber nicht unbedingt notwendig)
LG Al
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