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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 Fr 03.08.2007 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe | 1) Gegeben sei A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & a & 0 \\ 1 & 0 & 2}
[/mm]
Für welche Werte von a [mm] \in \IR [/mm] hat die Matrix A maximalen Rang?
Für welche Werte von a [mm] \in \IR [/mm] steht der zweite Spaltenvektor senkrecht auf dem ersten Spaltenvektor bzw der dritte Zeilenvektor senkrecht zum ersten Zeilenvektor?
Für welche Werte von a ist [mm] \lambda [/mm] = 2 ein Eigenwert von A?
2) Welchen Typ hat die Quadrik q(x) = -10x + 8y + 13 z + 12? |
Kann mir jemand helfen wie ich bei den Aufgaben vorgehe?
zu Aufg1: maximaler Rang bestimme ich doch dadurch, dass ich schaue wieviele linear unabhängigen Spalten meine Matrix hat und maximal bedeutet in diesem Falle, dass er 3 wäre, oder? Aber irgendwie verwirrt mich bei dieser gesamten Aufgabe das a...und die Orthogonalität prüft man sicherlich mit dem Skalarprodukt,oder?!
zu Aufg2: prinzipiell weiß ich dieser Typ von Aufgaben funktioniert, jedoch habe ich diese bisher IMMER nur mit quadratischen Funktionen gelöst und das verwirrt mich jetzt total.... wenn ich die Matrix folgendermaßen aufstelle:
[mm] \vektor{x \\ y} \pmat{ -10 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 14}+12
[/mm]
bekomme ich die Eigenwerte -10, 8 und 14 raus, was laut Lösung aber falsch ist?! Wie komm ich denn auf 3,6 und 9 als EW?
Danke!
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Hallo diecky!
> 1) Gegeben sei A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & a & 0 \\ 1 & 0 & 2}[/mm]
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> Für welche Werte von a [mm]\in \IR[/mm] hat die Matrix A maximalen
> Rang?
> Für welche Werte von a [mm]\in \IR[/mm] steht der zweite
> Spaltenvektor senkrecht auf dem ersten Spaltenvektor bzw
> der dritte Zeilenvektor senkrecht zum ersten Zeilenvektor?
> Für welche Werte von a ist [mm]\lambda[/mm] = 2 ein Eigenwert von
> A?
Du kannst auch einfach die Determinante dieser Matrix berechnen - wenn sie [mm] \not= [/mm] 0 ist, hat sie auch maximalen Rang.
Für die Orthogonalität würde ich auch mit dem Skalarprodukt rechnen, allerdings frage ich mich, wie das a den dritten oder ersten Zeilenvektor ändert - meiner Meinung nach stehen diese beiden entweder jetzt schon senkrecht (bin gerade zu faul das nachzuprüfen) oder sie stehen es auch für kein einziges a.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Fr 03.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo Diecky,
ich habe die finstere Vermutung, dass Du bei Deiner "Quadrik"
die Form
0 = -10x + 8y + 13 z + 12
gemeint hast.
Das ist jedoch keine Quadrik, sondern eine stinknormale
Ebenengleichung.
Liebe Grüße,
Markus-Hermann.
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