Quadratwurzel Kompl. zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:26 So 06.07.2008 | | Autor: | Tully |
| Aufgabe | Stellen Die die Komplexe Zahl
z := -9 + 53i / 1 + 3i
in der Form z = x + y*i mit x; y [mm] \in [/mm] R dar, und bestimmen Sie die beiden
Quadratwurzeln von z, und geben Sie sie ebenfalls in der Form u + v *i
mit u; v [mm] \in [/mm] R
an. (Es sind exakte Werte für x; y; u; v anzugeben) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe folgendes Problem. Wie geht man vor, wenn man die Quadratwurzeln bestimmen möchte?
Als Ergebnis habe ich bisher z= 15 + 4,33i heraus. Ist dies korrekt? Ich stecke gerade in der Klausurvorbereitung und unser Prof hat und ledigleich Aufgaben ohne Lösung gegeben....Ich hoffe ihr könnt mir helfen :)
Danke!
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> Stellen Sie die die komplexe Zahl
> z := -9 + 53i / 1 + 3i
hier wären Klammern notwendig: z := (-9 + 53i) / (1 + 3i)
falls du auf die Möglichkeiten der Bruchdarstellung mit TeX
verzichtest ...
>
> in der Form z = x + y*i mit x; y [mm]\in[/mm] R dar, und bestimmen
> Sie die beiden
> Quadratwurzeln von z, und geben Sie sie ebenfalls in der
> Form u + v *i
> mit u; v [mm]\in[/mm] R
> an. (Es sind exakte Werte für x; y; u; v anzugeben)
> Hallo!
> Ich habe folgendes Problem. Wie geht man vor, wenn man die
> Quadratwurzeln bestimmen möchte?
> Als Ergebnis habe ich bisher z= 15 + 4,33i heraus. Ist dies
> korrekt?
nicht ganz, es ist ungenau ! exakt wäre [m]\ z= 15+8i[/m]
1.) Um den Quotienten richtig zu berechnen, solltest du den Bruch
[m]\ z=\bruch{-9+53*i}{1+3*i}[/m]
mit dem konjugiert komplexen des Nenners, hier also mit [m]\ (1-3*i)[/m]
erweitern:
[m]\ z=\bruch{(-9+53*i)*(1-3*i)}{(1+3*i)*(1-3*i)}[/m]
dann Zähler und Nenner ausmultiplizieren (der Nenner wird reell !)
und dann, wenn möglich, kürzen und vereinfachen.
2.) Für die (bzw. eine der) Quadratwurzel(n) [m]\ w=u+v*i[/m] ergibt sich
dann die Gleichung [m]\ w^2=(u+v*i)^2=z=15+8*i[/m] .
Multipliziere den Term [m]\ (u+v*i)^2[/m] aus, setze ihn gleich [m]\ 15+8*i[/m] .
Dann muss der Realteil der linken Seite gleich dem Realteil der
rechten Seite sein, und entsprechend müssen die Imaginärteile
übereinstimmen. So bekommst du zwei Gleichungen für u und v.
Da eine quadratische Gleichung entsteht, können zwei Lösungen
( bzw. Lösungspaare [m]\ (u_1/v_1)[/m] und [m]\ (u_2/v_2) )[/m] entstehen.
LG al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:31 So 06.07.2008 | | Autor: | Tully |
wow....manchmal sind die Dinge einfacher als man es sich vorstellt ;)
Vielen, vielen Dank für deine Ausführliche und leicht verständliche Antwort!
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