Quadraturformel passend wählen < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:47 Mi 13.07.2011 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | Wähle eine geeignete Quadratur für folgende Integrale:
[mm] I_{1} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{e^{x*sin(x)} dx}
[/mm]
[mm] I_{2} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel[]{x} e^{x*sin(x)} dx}
[/mm]
[mm] I_{3} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{sin^3(2 \pi x) + cos^2(2 \pi x ) dx }
[/mm]
Gebe Sie eine Begründung Ihrer Wahl.
Berechnen Sie die Approximation des Integrals [mm] I_{3} [/mm] mit dem ausgewählten Verfahren, indem Sie den Integranden in dem Intervall [0,1) auswerten. |
In der Vorlesung haben wir gelernt, dass die Gauß-Quadratur, die beste Quadratur ist, weil diese aus einer s-stufigen Quadraturformel die maximale Ordnung 2s rausholt.
Also kann man hier eigentlich bei allen 3 sagen, dass die Gaußquadratur hier die geeignete Quadratur ist.
( Darf man das so pauschal sagen? )
Jedoch wäre es in der Klausur nicht so einfach möglich die Gaußquadratur für [mm] I_{3} [/mm] anzuwenden. Also würde man sich überlegen, was sonst noch möglich wäre und
da wäre das einzige was mir einfällt: zusammengesetzte Trapezregel, diese lässt sich hier schnell anwenden.
Gibt es noch andere praktische Verfahren, die man hier anwenden würde?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Do 14.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
mich würde die offizielle Antwort auf die Frage auch sehr interessieren.
Allgemein: Keins der Integrale hat eine Form, wo es eine ideale Gauß-Gewichtsfunktion dazu gibt. (oder?)
Der Integrand von [mm] $I_1$ [/mm] ist sehr nah an [mm] $1+x^2+\frac{x^4}3$ [/mm] (das Integral ist knapp 1 Promille daneben), aber ich weiß nicht, ob man das der Funktion irgendwie ansieht, ohne es auszurechnen.
Bei [mm] $I_2$ [/mm] steigt der Integrand bei 0 senkrecht. Daumenregel ist, daß in solchen Fällen adaptive Schrittweiten eine gute Idee sind. Sonst kann man hier die Funktionsauswertungen von [mm] $I_1$ [/mm] recyclen.
Bei [mm] $I_3$ [/mm] fällt der Sinusterm raus, und den Cosinus-Term kann man über die halbe Strecke integrieren und dann verdoppeln.
Ich würde wahrscheinlich zu Romberg-Quadratur tendieren. Da kann ich so lange rechnen, bis die Genauigkeit gut genug ist. =)
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 15.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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