Quadratische gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hallo
ich habe ein problem mit einer form von Quadratischen gleichungen und zwar den bruchgleichungen und den wurzelleichungen der quadratischen funktionen. da wir in 2 tagen eine mathe arbeit schreiben und ich morgen frei hab kann ich leider nicht meine lehrerin mit diesem problem nerfen darum tu ichs hier=P. nein spaß bei seite. die aufgabe lauten 1. bei bruchgleichungen [mm] \bruch{7-x}{x}-\bruch{x}{x+8}=5 [/mm] und bei wurzelgleichungen [mm] \wurzel{x-2}+14=x [/mm] . es wäre sehr nett wenn jemand diese aufgabe mit mir lösen könnte damit ich sie verstehe weil ich hab mir zwar den richtigen lösungsweg und die richtige lösung abgeschrieben ich hab e aber keine ahnung wie man auf enzelne passagen kommt .
vielen dank im vorraus
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Hi ranzactivator,
> nein spaß bei seite. die
> aufgabe lauten 1. bei bruchgleichungen
> [mm]\bruch{7-x}{x}-\bruch{x}{x+8}=5[/mm] und bei wurzelgleichungen
> [mm]\wurzel{x-2}+14=x[/mm] . es wäre sehr nett wenn jemand diese
> aufgabe mit mir lösen könnte damit ich sie verstehe weil
> ich hab mir zwar den richtigen lösungsweg und die richtige
> lösung abgeschrieben
Hmm, da kommt mir gerade die Idee, daß Du diesen Lösungsweg auch hier hättest reinposten können. Dann hätten wir diesen Lösungsweg kommentiert. 
> ich hab e aber keine ahnung wie man
> auf enzelne passagen kommt .
Na ja, wie gesagt ... Aber ich fang mal mit der ersten Aufgabe an:
[m]\begin{gathered}
\frac{{7 - x}}
{x} - \frac{x}
{{x + 8}} = 5\mathop \Leftrightarrow \limits^{{\text{Multiplikation mit}}\,x\left( {x + 8} \right)} \left( {7 - x} \right)\left( {x + 8} \right) - x^2 = 5x\left( {x + 8} \right) \hfill \\
\mathop \Leftrightarrow \limits^{{\text{alles ''auf die linke Seite bringen''}}} \left( {7 - x} \right)\left( {x + 8} \right) - 5x\left( {x + 8} \right) - x^2 = 0 \hfill \\
\mathop \Leftrightarrow \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{jetzt wenden wir das}} \\
{\text{Distributivgesetz auf}}\,\left( {x + 8} \right)\,{\text{an}}
\end{subarray}} \left( {x + 8} \right)\left( {7 - x - 5x} \right) - x^2 = \left( {x + 8} \right)\left( {7 - 6x} \right) - x^2 \hfill \\
\mathop = \limits^{{\text{ausmultiplizieren}}} 7x - 6x^2 + 56 - 48x - x^2 = - 7x^2 - 41x + 56 = 0 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Jetzt löst Du die letzte Gleichung und prüfst dann, ob die erhaltenen Ergebnisse eine Division durch Null verursachen. Um zu wissen, ob Du einen Fehler gemacht hast.
So, jetzt zur Wurzelaufgabe:
[m]\sqrt {x - 2} + 14 = x \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} = x - 14\mathop \Rightarrow \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{Quadrieren:}} \\
{\text{Achtung: Keine}} \\
{\text{Äquivalenzumformung!}}
\end{subarray}} x - 2 = \left( {x - 14} \right)^2[/m]
"Keine Äquivalenzumformung" heißt, daß Du jede einzelne Lösung dieser quadratischen Gleichung in die Ursprungsgleichung einsetzen mußt, um zu prüfen, ob es auch wirklich eine Lösung der Gleichung ist. Versuch' das mal, und wenn Du willst, prüfen wir gerne deine Ergebnisse. 
Viele Grüße
Karl
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hallo karl
erst einmal vielen dank das du mir so schnell geantwortet hast!!!=)
so also erstmal der lösungsweg von der bruchgleichung:
[mm] \bruch{7-x}{x}-\bruch{x}{x+8}=5
[/mm]
erst einmal der difinitions bereich : [mm] x\in\IR
[/mm]
dann hauptnenner bilden und entsprechend erweitern und da is das erste problem [mm] :\bruch{(7-x)(x+8)}{x(x+8)}-\bruch {x²}{x(x+8)}=\bruch{5x(x+8)}{x(x+8)} [/mm] und mein zweites problem ist das ausmultiplizieren also wär es nnett wen ndu mir das noch erklären könntest ich weiß das is eigentlich grundschul niveau aber ich habs irgendwie vergessen ;)so sonst hab ichs genauso wie du und bei der lösung:
[mm] x1=\bruch [/mm] {8}{7}, x2=-7
Heißt [mm] L={-7,\bruch {8}{7}}
[/mm]
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Hallo
ihr könnt auch antworten wenn ihr nicht karl heißt =P ^^.is nämlich ziemlich wichtig!!!!
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Hallo ranzactivator,
> erst einmal vielen dank das du mir so schnell geantwortet
> hast!!!=)
> so also erstmal der lösungsweg von der bruchgleichung:
>
> [mm]\bruch{7-x}{x}-\bruch{x}{x+8}=5
[/mm]
> erst einmal der difinitions bereich : [mm]x\in\IR
[/mm]
Hmm, ich weiß nicht, ob es richtig ist, hier vom Definitionsbereich in deinem Sinne zu sprechen, den eigentlich entspricht der Definitionsbereich hier doch genau der Lösungsmenge für diese Gleichung. Und diese Lösungsmenge willst du ja erst bestimmen. Wenn Du beispielsweise 7 in die obige Gleichung einsetzt, erhälst Du [m]\frac{{7 - 7}}
{7} - \frac{7}
{{7 + 8}} = - \frac{7}
{{15}} \ne 5[/m]. Damit darfst Du also 7 nicht in diese Gleichung einsetzen, weil Du sonst einen Widerspruch bekommst. Was Du also sicherlich meinst, ist die Funktion [m]f\left( x \right): = \frac{{7 - x}}
{x} - \frac{x}
{{x + 8}}[/m] mit dem Definitionsbereich [m]\IR - \left\{ { - 8;0} \right\}[/m], denn wenn Du -8 oder 0 einsetzt, erhälst Du unzulässige Divisionen durch Null.
> dann hauptnenner bilden und entsprechend erweitern und da
> is das erste problem [mm]:\bruch{(7-x)(x+8)}{x(x+8)}-\bruch {x²}{x(x+8)}=\bruch{5x(x+8)}{x(x+8)}[/mm]
> und mein zweites problem ist das ausmultiplizierenalso
> wär es nnett wen ndu mir das noch erklären könntest
Also im Grunde genommen ist das ein Zwischenschritt in meinem anderen Ansatz. Nur hast Du diesen Zwischenschritt nochmal ausführlicher hingeschrieben. Dann machen wir folgende Umformungen:
[m]\frac{{\left( {7 - x} \right)\left( {x + 8} \right)}}
{{x\left( {x + 8} \right)}} - \frac{{x^2 }}
{{x\left( {x + 8} \right)}} = \frac{{5x\left( {x + 8} \right)}}
{{x\left( {x + 8} \right)}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{Multiplikation mit}} \\
{\text{dem Hauptnenner}}
\end{subarray}} \left( {7 - x} \right)\left( {x + 8} \right) - x^2 = 5x\left( {x + 8} \right)[/m]
Na ja, und das ist jetzt eigentlich ein Zwischenschritt aus meinem ersten Ansatz. Aber man kann natürlich auch zuerst alles ausmultiplizieren (nur ist das etwas umständlicher): [m]\begin{gathered}
\frac{{\left( {7 - x} \right)\left( {x + 8} \right)}}
{{x\left( {x + 8} \right)}} - \frac{{x^2 }}
{{x\left( {x + 8} \right)}} = \frac{{5x\left( {x + 8} \right)}}
{{x\left( {x + 8} \right)}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{Multiplikation mit}} \\
{\text{dem Hauptnenner}}
\end{subarray}} \left( {7 - x} \right)\left( {x + 8} \right) - x^2 = 5x\left( {x + 8} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow 7x + 56 - x^2 - 8x - x^2 = 5x^2 + 40x \Leftrightarrow - 2x^2 - x + 56 = 5x^2 + 40x \hfill \\
\Leftrightarrow - 7x^2 - 41x + 56 = 0 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Und den Rest kennst Du ja bereits.
Hier ist nochmal das generelle Schema beim Ausmultiplizieren:
[m](a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd[/m]
Herleitung:
[m](a+b)(c+d) = (a+b)c+(a+b)d = (ca+cb)+(da+db) = ac+bc+ad+bd = ac+ad+bc+bd[/m]
Zuerst wendet man das Distributivaxiom an. Danach wieder das Distributivaxiom in Verbindung mit dem Kommutativaxiom (diesen Schritt habe ich ausgelassen). Die Klammern kann man wegen dem Assoziativgesetz(=axiom) fallenlassen und wegen dem Kommutativgesetz kann man die Summanden (einer endlichen Summe) in jede beliebige Position umstellen.
> ich
> weiß das is eigentlich grundschul niveau aber ich habs
> irgendwie vergessen ;)
Das passiert mir auch öfters, daß ich Sachen einfach vergesse.
> so sonst hab ichs genauso wie du und
> bei der lösung:
> [mm]x1=\bruch[/mm] {8}{7}, x2=-7
> Heißt [mm]L={-7,\bruch {8}{7}}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Karl
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