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Hallo,
Ich habe eine Aufgabe bezüglich einer quadratischen Matrix und soll zeigen, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
Sei A eine quadratische Matrix
a) Für alle B (mit der gleichen Spalten-und Zeilenzahl wie A) gilt: AB = BA
b) Es gibt ein [mm] \lambda \in [/mm] K mit A= [mm] \lambda [/mm] E (Einheitsmatrix)
Also, AB kann ja nur gleich BA sein, wenn B das inverse von A ist, folglich muss da E herauskommen. Aber wieso sind die Aussagen äquivalent...?
Wie kann ich dass denn beweisen...?
Danke
Liebe Grüße
LS
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Hallo!
Du hast da bestimmt etwas mißverstanden... natürlich kann auch $AB = BA$ gelten, wenn $A$ und $B$ NICHT invers zueinander sind - der einfachste Fall wäre zum Beispiel $B = A$, denn [mm] $A^2 [/mm] = [mm] A^2$. [/mm] Oder wenn $B = 0$ und $A$ beliebig, dann kommt in jedem Fall die Nullmatrix heraus.
Du sollst jetzt aber beweisen, dass für feste Matrix $A$ folgendes gilt:
Für alle Matrizen $B$ gilt $AB = BA [mm] \Leftrightarrow [/mm] A = [mm] \lambda E_n$.
[/mm]
Du zeigst also damit, dass nur die "Skalarmatrizen" (so heißen die Diagonalmatrizen, bei denen alle Diagonalelemente gleich sind) mit allen Matrizen kommutieren.
Die eine Richtung ist ganz einfach: wenn $A$ eine Skalarmatrix ist, dann bist Du schnell fertig.
Trickreicher ist die Rückrichtung. Dazu vielleicht folgendes:
Falls $AB = BA$ für alle Matrizen $B$ gilt, dann gilt es insbesondere für Matrizen der Form [mm] $E_{ij}$, [/mm] wobei ich damit die Matrix meine, die überall 0en stehen hat und nur in Zeile $i$ und Spalte $j$ eine 1.
Kannst Du aus $A [mm] \cdot E_{ij} [/mm] = [mm] E_{ij} \cdot [/mm] A$ für alle $i,j [mm] \in \{1, \ldots, n\}$ [/mm] folgern, dass $A = [mm] \lambda [/mm] E$ für ein [mm] $\lambda \in [/mm] K$?
Viel Erfolg!
Lars
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