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Hi@all,
nur so eine Überlegung! Wie kommt man von
[mm] x=\left( \bruch{-b}{2a} \right)\pm\left( \bruch{\wurzel{b²-4ac}}{2|a|} \right) [/mm]
auf
[mm] x=\left( \bruch{-b\pm \wurzel{b²-4ac}}{2a} \right) [/mm]
?
Ich weis es irgendwie wirklich gar nicht! Habe schon viel überlegt und ausprobiert, aber noch keine wirkliche Lösung gefunden!
Danke für eure Antworten!!!
Gruß
Goldener_Sch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Abend Goldener_Sch.!
> Wie kommt man von [mm]x=\left( \bruch{-b}{2a} \right)\pm\left( \bruch{\wurzel{b²-4ac}}{2|a|} \right) [/mm] auf [mm]x=\left( \bruch{-b\pm \wurzel{b²-4ac}}{2a} \right)[/mm] ?
Hier wurden die beiden Brüche schlicht und ergreifend auf einem Bruch zusammengefasst.
"Knackpunkt" bei dieser Geschichte sind natürlich die Betragsstriche im Nenner des zweiten Bruches.
Diese darf man einfach weglassen, da dieser Bruch sowieso für beide Vorzeichen betrachtet wird und die Reihenfolge der beiden Lösungen keine nennenswerte Rolle spielt.
Formal wurde hier eine Fallunterscheidung vorgenommen:
Fall 1: $a \ > \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $|a| \ = \ a$
[mm]x_{1/2} \ = \ \bruch{-b}{2a} \pm \bruch{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|} \ = \ \bruch{-b}{2a} \pm \bruch{\wurzel{b^2-4ac}}{2a} \ = \ \bruch{-b \pm \wurzel{b^2-4ac}}{2a}[/mm]
Fall 2: $a \ < \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $|a| \ = \ -a$
[mm]x_{1/2} \ = \ \bruch{-b}{2a} \pm \bruch{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|} \ = \ \bruch{-b}{2a} \pm \bruch{\wurzel{b^2-4ac}}{2*(-a)} \ = \ \bruch{-b}{2a} \ \red{\mp} \ \bruch{\wurzel{b^2-4ac}}{2a} \ = \ \bruch{-b \ \red{\mp} \ \wurzel{b^2-4ac}}{2a}[/mm]
Da hier ja die Reihenfolge der beiden Lösungen für den negativen bzw. positiven Anteil keine wirkliche Rolle spielt, wurden diese beiden Lösungen vereinfachend zusammengefasst zu:
[mm]x_{1/2} \ = \ \bruch{-b \pm \wurzel{b^2-4ac}}{2a}[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar!
Erstmal danke für deine Bemügungen!!!
Ich kann so die Kernaussage deiner Antwort verstehe, aber... irgendwie will das nicht so richtig alles, warum das geht usw.
Ich bitte dich, das wäre wirklich nett, hiermit das alles vielleicht noch ein bisschen auszuformulieren und so weiter, Worte können Wunder bewirken :D !
Ich danke schon mal im Vorraus!!!!
Natürlich kann auch jeder andere hier weiterhelfen, aber Loddar hat schon die erste antwort geschrieben, na ja...!
Gruß
Goldener_Sch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Goldener Schnitt!
Also, im Falle $a>0$ ist ja alles klar. Dort ist ja $|a|=a$, und die Formel folgt direkt:
$- [mm] \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|} [/mm] = [mm] -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} [/mm] = [mm] \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,
[/mm]
also genau das, was zu zeigen war.
Etwas schwieriger ist der Fall $a<0$. Dort ist $|a|=-a$, und wir müssen wie folgt rechnen:
$- [mm] \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|} [/mm] = [mm] -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2(-a)}$.
[/mm]
So, jetzt rechnen wir mal beides getrennt aus, die Lösung mit "$+$" und die Lösung mit "$-$":
[mm] $-\frac{b}{2a} [/mm] + [mm] \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2(-a)} [/mm] = [mm] -\frac{b}{2a} [/mm] - [mm] \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} [/mm] = [mm] \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
[/mm]
und
[mm] $-\frac{b}{2a} [/mm] - [mm] \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2(-a)} [/mm] =- [mm] \frac{b}{2a} [/mm] + [mm] \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} [/mm] = [mm] \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
[/mm]
Wir erhalten also wiederum die gleichen Lösungen wie im Falle $a>0$, nur in einer anderen Reihenfolge (diese ist aber ja egal).
Daher können wir auch hier schreiben:
$- [mm] \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|} [/mm] = [mm] -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2(-a)} [/mm] = [mm] \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
[/mm]
Ist es dir jetzt klar? 
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Loddar und Stefan!!!!!!!!!!
DANKE erstmal für eure Antwort!!!1! Es hat wirklich geholfen es lgosch nachvollziehen zu können!!!!!!!!!
Ich HABS VESRATANDEN!!!!!!!
Das "verstehen" von dem war einfach, aber irgendwie zu denken, dass das so richtig ist, war nicht so leicht!!!!!!!!!!!!!!!
Trotzdem DANKE AN EUCH!!!!!!!!!!!!!!!!!
Und entschuldigt, dass ich erst so spät genatwortet haben, aber ich hatte aufgehört darüber nachzudenken, aber jetzt habe ich es ja verstanden!!!!!
Mit den besten Grüßen
Goldener_Sch.
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