Quadratische Gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 So 23.05.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo zusammen,
ich habe hier ein paar quadratische Gleichungen, die ich soweit auch geloest bekomme. Allerdings habe ich die Vermutung, dass man auf die Loesungen einfacher/geschickter kommen kann. Z.B.:
[mm] (43+10x)^2+(66+10x)^2=(79+14x)^2
[/mm]
Ich habe einfach die Binome ausmultipliziert, die Gleichung nach 0 aufgeloest und mittels p-q-Formel geloest. Allerdings sind da ja schon recht grosse Werte dabei und die Quadrate dann eben auch entsprechend gross. Gibt es da eine "Abkuerzung" zum schnelleren Loesen?
Nach dem selben Schema bin ich bei den folgenden zwei Aufgaben vorgegangen.
[mm] x+\bruch{1}{x}=\bruch{a-b}{a+b}+\bruch{a+b}{a-b}
[/mm]
[mm] \bruch{a+x}{b+x}+\bruch{b+x}{a+x}=\bruch{5}{2}
[/mm]
Gerade bei ersterer kommen die beiden Loesungen [mm] x_{1}=\bruch{a+b}{a-b} [/mm] und [mm] x_{2}=\bruch{a-b}{a+b} [/mm] ja eigentlich schon direkt auf der rechten Seite der Gleichung vor. Uebersehe ich da irgendeinen "Trick"?
Bin gespannt auf Eure Antworten!
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 So 23.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Michael!
> [mm] (43+10x)^2+(66+10x)^2=(79+14x)^2
[/mm]
>
> Ich habe einfach die Binome ausmultipliziert, die Gleichung
> nach 0 aufgeloest und mittels p-q-Formel geloest.
> Allerdings sind da ja schon recht grosse Werte dabei und
> die Quadrate dann eben auch entsprechend gross. Gibt es da
> eine "Abkuerzung" zum schnelleren Loesen?
Hier sehe ich keinen praktikablen Weg, jedenfalls keinen, der einen entscheidenden Vorteil bringt.
> [mm] x+\bruch{1}{x}=\bruch{a-b}{a+b}+\bruch{a+b}{a-b}
[/mm]
Hier kann man ja, wie du schon meintest, die beiden Lösungen ablesen. Da sowohl links als auch rechts die Summe von Bruch und Kehrbruch steht, sind [mm] $\bruch{a-b}{a+b}$ [/mm] und sein Kehrbruch [mm] $\bruch{a+b}{a-b}$ [/mm] die beiden Lösungen (beachte: Der Kehrbuch des Kehrbruches ist wieder der Bruch, daher ist alles "symmetrisch").
Gut, also [mm] $\bruch{a-b}{a+b}$ [/mm] und [mm] $\bruch{a+b}{a-b}$ [/mm] sind auf jeden Fall (im Falle $a [mm] \ne [/mm] b$ und $a [mm] \ne [/mm] -b$) zwei Lösungen. Doch sind es auch alle Lösungen?
Ja, denn es handelt sich ja (wenn man mit $x$ durchmultipliziert) um eine quadratische Gleichung, und eine solche kann höchstens zwei Lösungen haben. Zwei haben wir aber bereits gefunden, also kann es keine weiteren geben.
> [mm] \bruch{a+x}{b+x}+\bruch{b+x}{a+x}=\bruch{5}{2}
[/mm]
Wegen
[mm] $\bruch{5}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{2}{1}$
[/mm]
kannst du wieder argumentieren, dass entweder
[mm] $\bruch{a+x}{b+x} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $\bruch{b+x}{a+x} [/mm] = [mm] \frac{2}{1}$
[/mm]
oder
[mm] $\bruch{a+x}{b+x} [/mm] = [mm] \frac{2}{1}$ [/mm] und [mm] $\bruch{b+x}{a+x} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
gelten muss.
Löse beiden Gleichungssysteme auf, und du bekommst zwei Lösungen.
Da es sich wieder um eine quadratische Gleichung handelt, sind dies auch die einzigen Lösungen.
Achtung: Eventuell musst du eine Fallunterschiedung machen, da ja zwei Parameter ($a$ und $b$) mit im Spiel sind, das habe ich jetzt nicht überprüft.
Melde dich doch mal mit einem Ergebnis der letzten Aufgabe, aber bitte mit allen Zwischenschritten. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 So 23.05.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Stefan,
erstmal vielen Dank fuer Deine ausfuehrlichen Erlaeuterungen!
> > [mm] x+\bruch{1}{x}=\bruch{a-b}{a+b}+\bruch{a+b}{a-b}
[/mm]
>
> Hier kann man ja, wie du schon meintest, die beiden
> Lösungen ablesen. Da sowohl links als auch rechts die Summe
> von Bruch und Kehrbruch steht, sind [mm] $\bruch{a-b}{a+b}$ [/mm] und
> sein Kehrbruch [mm] $\bruch{a+b}{a-b}$ [/mm] die beiden Lösungen
> (beachte: Der Kehrbuch des Kehrbruches ist wieder der
> Bruch, daher ist alles "symmetrisch").
Ok, wenn ich mir die Gleichung anschaue, erscheint mir das jetzt auch logisch. Kann man das auch eher formal durch Umformung zeigen? Falls ja, wie?
> > [mm] \bruch{a+x}{b+x}+\bruch{b+x}{a+x}=\bruch{5}{2}
[/mm]
>
> Wegen
>
> [mm] $\bruch{5}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{2}{1}$
[/mm]
Hast Du das jetzt "einfach gesehen" oder gibt es eine Technik sowas rauszubekommen? Denn bei komplexeren Zahlen duerfte doch das nicht mehr so leicht gelingen, oder?
> kannst du wieder argumentieren, dass entweder
>
> [mm] $\bruch{a+x}{b+x} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $\bruch{b+x}{a+x} [/mm] =
> [mm] \frac{2}{1}$
[/mm]
>
> oder
>
> [mm] $\bruch{a+x}{b+x} [/mm] = [mm] \frac{2}{1}$ [/mm] und [mm] $\bruch{b+x}{a+x} [/mm] =
> [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
>
> gelten muss.
>
> Löse beiden Gleichungssysteme auf, und du bekommst zwei
> Lösungen.
>
> Da es sich wieder um eine quadratische Gleichung handelt,
> sind dies auch die einzigen Lösungen.
>
> Achtung: Eventuell musst du eine Fallunterschiedung machen,
> da ja zwei Parameter ($a$ und $b$) mit im Spiel sind, das
> habe ich jetzt nicht überprüft.
Wie meinst Du das genau?
> Melde dich doch mal mit einem Ergebnis der letzten Aufgabe,
> aber bitte mit allen Zwischenschritten.
Also einmal habe ich es ja schon mittels p-q-Formel geloest. Ist jetzt etwas viel zum Abtippen. 
Wenn man die von Dir angegebenen Gleichungssysteme mit beiden Nennern multipliziert, erkennt man, dass es sich um die selben Gleichungen handelt. (Oder man nimmt die Kehrbrueche bzw. potenziert beide Seiten mit -1). Also reicht es eine Gleichung des jeweiligen Systems zu loesen und das ergibt einmal
[mm] $\frac{a+x}{b+x}=\frac{1}{2} \gdw [/mm] 2(a+x) = b+x [mm] \gdw [/mm] x = b-2a$
und
[mm] $\frac{a+x}{b+x}=\frac{2}{1} \gdw [/mm] a+x = 2b+2x [mm] \gdw [/mm] x = a-2b$
Richtig? Ist die Verwendung von [mm] $\gdw$ [/mm] hier korrekt?
Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 So 23.05.2004 | | Autor: | Marc |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hallo michael7,
> > > x+\bruch{1}{x}=\bruch{a-b}{a+b}+\bruch{a+b}{a-b}
> >
> > Hier kann man ja, wie du schon meintest, die beiden
> > Lösungen ablesen. Da sowohl links als auch rechts die
> Summe
> > von Bruch und Kehrbruch steht, sind $\bruch{a-b}{a+b}$
> und
> > sein Kehrbruch $\bruch{a+b}{a-b}$ die beiden Lösungen
> > (beachte: Der Kehrbuch des Kehrbruches ist wieder der
> > Bruch, daher ist alles "symmetrisch").
>
> Ok, wenn ich mir die Gleichung anschaue, erscheint mir das
> jetzt auch logisch. Kann man das auch eher formal durch
> Umformung zeigen? Falls ja, wie?
Das wird dich enttäuschen: Wir hatten ja erkannt, dass auf beiden Seiten der Gleichung ein Ausdruck zu seinem Kehrwert addiert wird, also so etwas hier:
$x+\bruch{1}{x}=y+\bruch{1}{y}$ |$*x$
$\gdw\ x^2+1=xy+x*\bruch{1}{y}$
$\gdw\ x^2+1=x\left(y+\bruch{1}{y}\right)$
$\gdw\ x^2-\left(y+\bruch{1}{y}\right)x+1=0$
p/q-Formel:
$\gdw\ x_{1,2}=\left(y+\bruch{1}{y}\right)*\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\left(\left(y+\bruch{1}{y}\right)*\bruch{1}{2}\right)^2-1}$
$\gdw\ x_{1,2}=\left(y+\bruch{1}{y}\right)*\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\left(y+\bruch{1}{y}\right)^2*\bruch{1}{4}-1}$
$\gdw\ x_{1,2}=\left(y+\bruch{1}{y}\right)*\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{(y^2+1)^2}{4y^2}-1}$
$\gdw\ x_{1,2}=\left(y+\bruch{1}{y}\right)*\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{y^4+2y^4+1}{4y^2}-\bruch{4y^2}{4y^2}$
$\gdw\ x_{1,2}=\left(y+\bruch{1}{y}\right)*\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{y^4-2y^4+1}{4y^2}}$
$\gdw\ x_{1,2}=\left(y+\bruch{1}{y}\right)*\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{(y^2-1)^2}{4y^2}}$
$\gdw\ x_{1,2}=\left(y+\bruch{1}{y}\right)*\bruch{1}{2}\pm\bruch{|y^2-1|}{|2y|}}$
$\gdw\ x_{1,2}=\bruch{y^2+1}{2y}\pm\bruch{|y^2-1|}{|2y|}}$
1. Fall: y>1
$\gdw\ x_{1,2}=\bruch{y^2+1}{2y}\pm\bruch{y^2-1}{2y}}$
$\gdw\ x_{1}=\bruch{y^2+1}{2y}+\bruch{y^2-1}{2y}}$ oder $x_{2}=\bruch{y^2+1}{2y}-\bruch{y^2-1}{2y}}$
$\gdw\ x_{1}=\bruch{2y^2}{2y}$ oder $x_{2}=\bruch{2}{2y}$
$\gdw\ x_{1}=y$ oder $x_{2}=\bruch{1}{y}$
2. Fall: 0<y<1
$\gdw\ x_{1,2}=\bruch{y^2+1}{2y}\pm\bruch{-(y^2-1)}{2y}}$
$\gdw\ x_{1,2}=\bruch{y^2+1}{2y}\mp\bruch{y^2-1}{2y}}$
siehe 1. Fall
3. Fall: -1<y<0
$\gdw\ x_{1,2}=\bruch{y^2+1}{2y}\pm\bruch{-(y^2-1)}{-2y}}$
$\gdw\ x_{1,2}=\bruch{y^2+1}{2y}\pp\bruch{y^2-1}{2y}}$
siehe 1. Fall
4. Fall: y<-1
$\gdw\ x_{1,2}=\bruch{y^2+1}{2y}\pm\bruch{y^2-1}{-2y}}$
$\gdw\ x_{1,2}=\bruch{y^2+1}{2y}\mp\bruch{y^2-1}{2y}}$
siehe 1. Fall
Es ergibt sich also in allen vier Fällen: $x_1=y$ oder $x_2=\bruch{1}{y}$, womit eine Trivialität formal korrekt gezeigt wäre.
> > > \bruch{a+x}{b+x}+\bruch{b+x}{a+x}=\bruch{5}{2}
> >
> > Wegen
> >
> > $\bruch{5}{2} = \frac{1}{2} + \frac{2}{1}$
>
> Hast Du das jetzt "einfach gesehen" oder gibt es eine
> Technik sowas rauszubekommen? Denn bei komplexeren Zahlen
> duerfte doch das nicht mehr so leicht gelingen, oder?
Man muß nur sehen, dass die Gleichung von dieser Form ist:
$z+\bruch{1}{z}=\bruch{5}{2}$
$\gdw\ z^2+1=\bruch{5}{2}z$
$\gdw\ z^2-\bruch{5}{2}z+1=0$
Das kann man dann nach z auflösen und erhält die von Stefan angegebenen Bruchzahlen.
>
> > kannst du wieder argumentieren, dass entweder
> >
> > $\bruch{a+x}{b+x} = \frac{1}{2}$ und $\bruch{b+x}{a+x} =
>
> > \frac{2}{1}$
> >
> > oder
> >
> > $\bruch{a+x}{b+x} = \frac{2}{1}$ und $\bruch{b+x}{a+x} =
>
> > \frac{1}{2}$
> >
> > gelten muss.
> >
> > Löse beiden Gleichungssysteme auf, und du bekommst zwei
>
> > Lösungen.
> >
> > Da es sich wieder um eine quadratische Gleichung handelt,
>
> > sind dies auch die einzigen Lösungen.
> >
> > Achtung: Eventuell musst du eine Fallunterschiedung
> machen,
> > da ja zwei Parameter ($a$ und $b$) mit im Spiel sind, das
>
> > habe ich jetzt nicht überprüft.
>
> Wie meinst Du das genau?
Stefan meinte, dass man --wie ich es oben ja vorgemacht habe-- eventuell einzelne Fälle untersuchen muss, z.B. wenn man aus einen quadratischen Ausdruck die Wurzel ziehen will:
$\wurzel{a^2}=a$, falls a>0
$\wurzel{a^2}=-a$, falls a<0
> > Melde dich doch mal mit einem Ergebnis der letzten
> Aufgabe,
> > aber bitte mit allen Zwischenschritten.
>
> Also einmal habe ich es ja schon mittels p-q-Formel
> geloest. Ist jetzt etwas viel zum Abtippen.
>
> Wenn man die von Dir angegebenen Gleichungssysteme mit
> beiden Nennern multipliziert, erkennt man, dass es sich um
> die selben Gleichungen handelt. (Oder man nimmt die
> Kehrbrueche bzw. potenziert beide Seiten mit -1). Also
> reicht es eine Gleichung des jeweiligen Systems zu loesen
> und das ergibt einmal
>
> $\frac{a+x}{b+x}=\frac{1}{2} \gdw 2(a+x) = b+x \gdw x =
> b-2a$
>
> und
>
> $\frac{a+x}{b+x}=\frac{2}{1} \gdw a+x = 2b+2x \gdw x =
> a-2b$
>
> Richtig? Ist die Verwendung von $\gdw$ hier korrekt?
Das untersuche ich (oder jemand anders) gleich, muß erst was essen jetzt
Bis gleich,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 So 23.05.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Marc,
> [ausfuehrliche Beschreibung]
danke fuer die genaue Erklaerung. Werde ich mir nachher bzw. morgen nochmal genauer anschauen. Fuehle mich ja schon richtig schlecht, dass ich Dir soviel Tipp-Arbeit gemacht habe.
> > Hast Du das jetzt "einfach gesehen" oder gibt es eine
> > Technik sowas rauszubekommen? Denn bei komplexeren Zahlen
>
> > duerfte doch das nicht mehr so leicht gelingen, oder?
>
> Man muß nur sehen, dass die Gleichung von dieser Form
> ist:
>
> [mm] $z+\bruch{1}{z}=\bruch{5}{2}$
[/mm]
> [mm] $\gdw\ z^2+1=\bruch{5}{2}z$
[/mm]
> [mm] $\gdw\ z^2-\bruch{5}{2}z+1=0$
[/mm]
> Das kann man dann nach z auflösen und erhält die von
> Stefan angegebenen Bruchzahlen.
Ok.
> Stefan meinte, dass man --wie ich es oben ja vorgemacht
> habe-- eventuell einzelne Fälle untersuchen muss, z.B. wenn
> man aus einen quadratischen Ausdruck die Wurzel ziehen
> will:
> [mm] $\wurzel{a^2}=a$, [/mm] falls a>0
> [mm] $\wurzel{a^2}=-a$, [/mm] falls a<0
Alles klar. Habe ich jetzt verstanden.
> Das untersuche ich (oder jemand anders) gleich, muß erst
> was essen jetzt
Hast Du Dir verdient.
Danke nochmal,
Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 So 23.05.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Michael!
Dann wollen wir mal Marc sein verdientes Essen gönnen und ich übernehme den Rest ;) :
> Wenn man die von Dir angegebenen Gleichungssysteme mit
> beiden Nennern multipliziert, erkennt man, dass es sich um
> die selben Gleichungen handelt. (Oder man nimmt die
> Kehrbrueche bzw. potenziert beide Seiten mit -1). Also
> reicht es eine Gleichung des jeweiligen Systems zu loesen
> und das ergibt einmal
>
> [mm] $\frac{a+x}{b+x}=\frac{1}{2} \gdw [/mm] 2(a+x) = b+x [mm] \gdw [/mm] x = b-2a$
>
> und
>
> [mm] $\frac{a+x}{b+x}=\frac{2}{1} \gdw [/mm] a+x = 2b+2x [mm] \gdw [/mm] x = a-2b$
>
> Richtig? Ist die Verwendung von [mm] $\gdw$ [/mm] hier korrekt?
Richtig, aufpassen musst Du nur bei den Nullstellen des Nenners. Hier ist das ja der Fall, wenn $x=-b$ gilt, also (in beiden Fällen) wenn $a=b$. Dann bekommst Du Probleme mit dem Bruch, der wird nämlich zu [mm] $\frac{a+x}{b+x}=\frac{a-b}{b-b}=\frac{a-a}{b-b}=\frac{0}{0}$.
[/mm]
Der Folgepfeil gilt also nur in die Hinrichtung (nach rechts) uneingeschränkt ... wenn Du eine genau-dann-wenn-Beziehung herstellen willst, musst Du $a<>b$ voraussetzen.
Mach's gut
Oliver
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 So 23.05.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Oliver,
> Dann wollen wir mal Marc sein verdientes Essen gönnen und
> ich übernehme den Rest ;) :
> > Richtig? Ist die Verwendung von [mm] $\gdw$ [/mm] hier korrekt?
>
> Richtig, aufpassen musst Du nur bei den Nullstellen des
> Nenners. Hier ist das ja der Fall, wenn $x=-b$ gilt, also
> (in beiden Fällen) wenn $a=b$. Dann bekommst Du Probleme
> mit dem Bruch, der wird nämlich zu
> [mm] $\frac{a+x}{b+x}=\frac{a-b}{b-b}=\frac{a-a}{b-b}=\frac{0}{0}$.
[/mm]
>
> Der Folgepfeil gilt also nur in die Hinrichtung (nach
> rechts) uneingeschränkt ... wenn Du eine
> genau-dann-wenn-Beziehung herstellen willst, musst Du
> $a<>b$ voraussetzen.
Verstehe. Vielen Dank fuer Deine Hilfe!
Michael
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