Quadratische Gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Do 22.02.2007 | | Autor: | Reinalem |
| Aufgabe | 1.0 Die Parabel p hat eine Gleichung der Form y = a * (x - 8)² + 10 mit G = R x R und a [mm] \in [/mm] R / {0}. Die Pareabel p verläuft durch den Punkt P (2/5,5).
1.1 Berechnen Sie den Wert für a und zeigen Sie, dass sich die Gleichung der Parabel p wie folgt darstellen lässt: y_ [mm] -\bruch{1}{8} [/mm] x² + 2x + 2.
Erstellen Sie sodann für die Parabel p eine Wertetabelle für x [mm] \in [/mm] [0; 11] in Schritten von [mm] \Deltax [/mm] = 1, und zeichen Sie p in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 12; -1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 11
1.2 Auf der Parabel p liegen Punkte An (x/ [mm] -\bruch{1}{8}x² [/mm] + 2x + 2) und Punkte Dn. Dabei ist die Abszisse der Punkte Dn jeweils um 4 größer als die Aszisse x der Punkte An. Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte Dn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An gilt: Dn(x [mm] +4/-\bruch{1}{8}x² [/mm] + x + 8).
1.3 Fpr x < 6 und x [mm] \in [/mm] R sind die Strecken [AnDn] die Hypotenusen von rechtwinkligen Dreiecken AnFnDn, deren Katheten [AnFn] parallel zur x-Achse und deren Katheten [DnFn] parallel zur y-Achse verlaufen. An die Katheten [DnFn] der Dreiecke AnFnDn werden jeweils Quadrate DnFnBnCn mit [mm] \overline{DnFn} [/mm] als Seitenlänge angefügt. Die Quadrate DnFnBnCn bilden zusammen mit den Dreiecken AnFnDn Trapeze AnBnCnDn.
Zeichnen Sie das Dreieck A1F1D1 für x=0 und das zugehhörige Quadrat D1F1B1C1 sowie das Dreieck A2F2D2 für x = 5 und das zugehörige Quadrat D2F2B2C2 in das Koordintensystem zu 1.1 ein, so dass die Trapeze A1B1C1D1 und A2B2C2D2 entstehen.
1.4 Berechnen Sie die Steckenlänge [mm] \overline{DnFn} [/mm] (x) in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An.
Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass die x-Koordinate der Punkte Cn stets 10 ist.
[Teilergebnis: [mm] \overline{DnFn} [/mm] (x) = (6-x) LE]
1.5 Bestimmen Sie den Flächeninhalt A(x) der Trapeze AnBnCnDn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An. Berechnen Sie ´sodann den Wert für x, so dass das zugehhörige Trapez A3B3C3D3 einen Flächeninhalt von 80 FE hat.
[Teilergebnis: A(x) = (x² -14x+ 48) FE]
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Ich hab versucht die Aufgabe zu Lösen und bin bis zu 1.4 auf keine größeren Schwierigkeiten gestoßen.
Bei 1.4 wäre mein Lösungsvorschlag:
Dn(x [mm] +4/-\bruch{1}{8}x² [/mm] + x + 8)
Fn [mm] (x+4/-\bruch{1}{8}x² [/mm] + 2x + 2)
[mm] \overrightarrow{DnFn} =\vektor{(x+4) - (x+4) \\ (-\bruch{1}{8}x² + 2x + 2) - (-\bruch{1}{8}x² + x + 8)}= \vektor{0 \\ x -6}
[/mm]
[mm] \overline{DnFn} [/mm] = [mm] \wurzel{(x-6)²} [/mm] = [mm] \wurzel{x²-12x +36}
[/mm]
Danach komm ich nicht mehr weiter, weil ich aus dem Term die Wurzel nicht komplett ziehen kann.
Die Mustelösung im Stark Buch schaut ganz anders aus:
[mm] \overline{DnFn}(x) [/mm] = [ [mm] -\bruch{1}{8}x² [/mm] + x + 8 - [mm] (-\bruch{1}{8}x² [/mm] + 2x + 2)] LE
[mm] \overline{DnFn}(x) [/mm] = (6-X) LE
Xcn = (x+4)- (6-x) Xcn = 10
Wiso brauch ich für eine Strecke, die mithilfe der Koordinaten ausgerechnet wurde keine Wurzel?
Die Formel ist doch normalerweise [mm] \wurzel{(X1 - X2)² + (Y1 - Y2)²}
[/mm]
Schon im Vorhinein vielen Dank für Ihre Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Do 22.02.2007 | | Autor: | ardik |
Hallo Reinalem,
> [mm]\overline{DnFn}[/mm] = [mm]\wurzel{(x-6)²}[/mm] = [mm]\wurzel{x²-12x +36}[/mm]
>
> Danach komm ich nicht mehr weiter, weil ich aus dem Term
> die Wurzel nicht komplett ziehen kann.
Das ist schade! ![[baeh]](/images/smileys/baeh.gif "[baeh]")
Du machst es Dir aber auch kompliziert... ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Schau Dir [mm] $\wurzel{(x-6)²}$ [/mm] noch mal genau an - spar Dir das Ausmultiplizieren - und überleg, wie Du da wohl die Wurzel ziehen kannst...
> Die Mustelösung im Stark Buch schaut ganz anders aus:
[...]
> Wiso brauch ich für eine Strecke, die mithilfe der
> Koordinaten ausgerechnet wurde keine Wurzel?
Soo anders sieht die doch gar nicht aus...
Auch hier machst Du's Dir unnötig kompliziert. Da die gesuchte Strecke ja ohnehin nur in y-Richtung verläuft, kannst Du Dir den Pythagoras, auf dem "Deine" Formel ja beruht, komplett sparen. Hier ist doch die y-Komponente schon die gesuchte Länge.
Schöne Grüße
ardik
PS:
Sorry, das Grinsen etc. konnte ich mir einfach nicht verkneifen...
PPS:
Falls Du doch noch ratlos sein solltest, denk mal darüber nach, was [mm] $\wurzel{x^2}$ [/mm] ist...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Do 22.02.2007 | | Autor: | Reinalem |
Danke
ich war mir nicht sicher, ob ich das hoch 2 so einfach weglassen darf.
In der Mustelösung kommt (6-x) raus und bei mir (x-6) macht das einen Unterschied.
Ich weiß, dass das daran liegt, dass ich die Koordinaten Dn von Fn abgezogen hab und in der Musterlösung ist es andersrum. Stört das beim Weiterrechnen?
Ich glaub das es beim Ausrechnen einer Strecke egal ist, aber wie schaut des dann mit Cn aus, das x fällt ja in dem Fall nicht weg.
Melanie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Do 22.02.2007 | | Autor: | ardik |
Hallo Reinalem,
> ich war mir nicht sicher, ob ich das hoch 2 so einfach
> weglassen darf.
Naja, die (Quadrat-)Wurzel ist ja das Gegenteil (die Umkehrfunktion) vom Quadrieren.
Deswegen zieht man ja die Wurzel, wenn man ein Quadrat weg bekommen will und quadriert, wenn man eine Wurzel loswerden muss...
> In der Mustelösung kommt (6-x) raus und bei mir (x-6)
> macht das einen Unterschied.
Eine Streckenlänge ist ja grundsätzlich positiv, also müsste es genaugenommen ohnehin [mm] $\left|(x-6)\right|$ [/mm] lauten (oder ebensogut 6-x). Aber in der Aufgabe steht x<6, also ist 6-x hier immer positiv (und x-6 wäre negativ).
> Stört das beim Weiterrechnen?
Es könnte dazu führen, dass Du Punkte auf der falschen Seite herausbekommst.
Allerdings habe ich mir die Aufgabe nicht so genau angesehen, ob das hier relevant ist...
Schöne Grüße
ardik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Fr 23.02.2007 | | Autor: | Reinalem |
Hallo,
ich hab wieder das Problem nicht auf die Lösung des Stark Verlags zu kommen.
5.1
80 = x² - 14x + 48 / - 80
0= x² -14x - 32
a = 1 b = -14 c = -32
X1, X2 = [mm] \bruch{14 \pm \wurzel{(-14)² - 4 * 1 * (-32)}}{2*1}
[/mm]
X1, X2 = [mm] \bruch{14 \pm \wurzel{288}}{2}
[/mm]
X1 = 15,49 X2 = -1,46 [mm] \IL{-1,46}
[/mm]
Lösung im Stark Buch:
X1 = 16 X2 = -2 [mm] \IL{-2}
[/mm]
Schon im Vorhinein vielen Dank für die Hilfe
Melanie
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> Hallo,
Hi
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> ich hab wieder das Problem nicht auf die Lösung des Stark
> Verlags zu kommen.
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> 5.1
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> 80 = x² - 14x + 48 / - 80
> 0= x² -14x - 32
>
> a = 1 b = -14 c = -32
>
> X1, X2 = [mm]\bruch{14 \pm \wurzel{(-14)² - 4 * 1 * (-32)}}{2*1}[/mm]
>
> X1, X2 = [mm]\bruch{14 \pm \wurzel{288}}{2}[/mm]
>
(-14)² - 4 * 1 * (-32) = 324
Und [mm] \wurzel{324} [/mm] = 18
> X1 = 15,49 X2 = -1,46 [mm]\IL{-1,46}[/mm]
>
> Lösung im Stark Buch:
>
> X1 = 16 X2 = -2 [mm]\IL{-2}[/mm]
>
> Schon im Vorhinein vielen Dank für die Hilfe
>
> Melanie
>
Gruß Patrick
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