Quadratische GLeichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Verlängerst man eine Seite eines quadrates um eine bestimmte Strecke und verlängert man die andere Seite um die Hälfte dieser Strecke so erhält man ein Rechteck von 432 cm² Fläche.
Die Diagonale dieses Rechtecks hat eine Länge von 30 cm. Berechnen Sie die Länge der Quadratseite und die der Verlängerung. |
Stehe vor folgender Textaufgabe :
probier jetzt schon seit ner stunde auf ne lösung zu kommen:
folgender lösungsansatz habe ich aufgebaut:
Rechteck Umfang = 2a+2b
a=lange seite
b=kurzeseite
in meinem fall wäre das wenn ich richtig liege: 2(a+x)+2(b+x/2)
ab hier ist bei mir ende
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Hallo Ironman,
Als allererstes mache dir eine Skizze, daran führt bei derartigen Aufgabe fast kein Weg vorbei, daran kannst du alles fast ablesen 
Dabei bezeichne die Quadratseite(n) mit a, die Verlängerungsstrecke mit x
Die längere Rechteckseite bezeichne mit $r$, also $r=a+x$
Die kürzere Rechtecksseite bezeichne mit $s$, also [mm] $s=a+\frac{x}{2}$
[/mm]
Nun weiß ich nicht, was du mit dem Umfang willst, du hast doch die beiden Bedingungen:
1) Flächeninhalt des Rechtecks: [mm] $r\cdot{}s=432$
[/mm]
Also [mm] $\red{(a+x)\cdot{}\left(a+\frac{x}{2}\right)=432}$
[/mm]
2) Diagonale (nach Pythagoras): [mm] $r^2+s^2=30^2$
[/mm]
Also [mm] $\blue{(a+x)^2+\left(a+\frac{x}{2}\right)^2=900}$
[/mm]
Aus diesen beiden Bedingungen berechne nun mal a und x ...
LG
schachuzipus
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1) Flächeninhalt des Rechtecks:
da komme ich so weit:
2a²+x²+3ax-864=0
2) Diagonale (nach Pythagoras):
wenn ich das so weit auflöse komme ich bis
8a²+12ax+5x²-3600=0
wie mache ich ab da weiter
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Hallo nochmal,
> 1) Flächeninhalt des Rechtecks:
>
> da komme ich so weit:
>
> 2a²+x²+3ax-864=0
>
> 2) Diagonale (nach Pythagoras):
>
> wenn ich das so weit auflöse komme ich bis
>
> 8a²+12ax+5x²-3600=0
Das sieht soweit richtig aus.
>
> wie mache ich ab da weiter
Addiere zB. das $(-5)$-fache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, damit fällt das [mm] $x^2$ [/mm] weg.
Dann löse die "neue" zweite Gleichung nach $x$ auf (das gibt eine Abhängigkeit in a) und setze das in die erste Gleichung ein, um a zu bestimmen.
Mit dem berechneten a dann x bestimmen
LG
schachuzipus
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so jetzt habe ich folgendes über das additionsverfahren herausgefunden könntest du mal durchschauen ob ich das korrekt gemacht habe.
2a²+3ax +4x²=864 erweitern (*4)
8a²+12ax+5x²=3600
___________________
8a²+12ax+4x²=3456 erweitern (*4)
8a²+12ax+5x²=3600
_________________
-x=-144
x= 12
kann das sein ?
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hmm bei der auflösung komme ich auf a=15,1
2a²+144+3*12*a-864=0
3a²=648
a²=228
a=15,09966887
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Hallo,
> hmm bei der auflösung komme ich auf a=15,1
>
> 2a²+144+3*12*a-864=0
> 3a²=648
> a²=228
> a=15,09966887
Da passt aber die Gleichung nicht.
Es ist doch (siehe oben) [mm] $2a^2+3ax+x^2=864$
[/mm]
Mit $x=12$ also [mm] $2a^2+36a+144=864$ [/mm] bzw. [mm] $a^2+18a-360=0$
[/mm]
Und das gibt ...
LG
schachuzipus
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kommt da a=0 raus
2a²+36a =720 erweitern *(-4)
8a²+144a=2880
__________________
0=0
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Hallo nochmal,
> kommt da a=0 raus
>
> 2a²+36a =720 erweitern *(-4)
> 8a²+144a=2880
>
> __________________
> 0=0
Du solltest den Wert $x=12$ in eine der Gleichungen einsetzen, wir hatten die erste genommen.
Das gab [mm] $2a^2+3a\cdot{}12+12^2=864$ [/mm] oder umgeformt
[mm] $a^2+18a-360=0$
[/mm]
Die p/q-Formel liefert: [mm] $a_{1,2}=-\frac{18}{2}\pm\sqrt{\left(-\frac{18}{2}\right)^2+360}=-9\pm\sqrt{81+360}=-9\pm\sqrt{441}=-9\pm [/mm] 21$
Also ist die sinnvolle Lösung $a=-9+21=12$
LG
schachuzipus
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Oh man wieso hab ich das nicht gleich gesehen :(
du schachuzipus ich danke dir für deine schnellen und sehr verständlichen erklärungen und antworten. Die aufgabe sah so einfach aus hatte aber viele tücken. Ich hoffe ich habe deine geduld nicht zu arg strapaziert. Kannst vorbei kommen ich stell nen kaltes bier in Kühlschrank :D
LG
Ironamn
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aaaah lecker
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