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Hi @all,
ich habe total Langeweile. (Ich weis nicht, ob ich auf Party von den Eltern meines Kollegen gehen soll!)
Na ja, auf jeden Fall denke ich mir, man könne doch bestimmt beweisen, dass eine quadratische Funktion der Form:
[mm] f(x)=a*x²+bx+c [/mm]
wirklich ein Maximum aufweist, wenn gilt:
[mm] a<0 b\ne0 c\ne0 [/mm]
und analog ein Minima aufweist, wenn gilt:
[mm] a>0 b\ne0 c\ne0 [/mm]
Ferner wäre allgmemein noch eine Überlebung angrbacht:
Man beweise, dass der Scheitelpunkt auch wirklich der höchste- bzw. tiefste Punkt der Funktion [mm] f [/mm].
Es ist ohne weiteres zu beweisen, dass eine quadratische Funktion symetrisch zu einer Geraden
[mm] x=\left( \bruch{-b}{2a} \right) [/mm]
ist. Auch, dass daraus ein Schnittpunkt mit dem Graphen einer quadratischen Funktion
[mm] x_s=\left( \bruch{-b}{2a} \right) [/mm]
resultiert. Daraus folgt dann dieser Punkt , der vermeindlich der höchste oder tiefste Punkt des Graphen ist. Dies läßt sich zwar durch logisches Denken bestätigen, aber ist das ein so mathematischer Weg?
Gibt es nicht einen "?mehr mathematischen?" Beweis für diese Eigenschaft?
Danke für eure Antwoten!!!
Gruß
Goldener_Sch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Sa 20.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> ich habe total Langeweile. (Ich weis nicht, ob ich auf
> Party von den Eltern meines Kollegen gehen soll!)
Hört sich nicht gut an. ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]") Es sei denn er hat eine Schwester... 
Also, wir wollen beweisen (ohne Mittel der Differentialrechnung!), dass der Graph einer Funktion
$f(x) = [mm] ax^2 [/mm] + bx +c = a [mm] \cdot \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 [/mm] - [mm] \frac{b^2}{4a} [/mm] + c$
im Falle $a<0$ im Scheitelpunkt $S [mm] \left( -\frac{b}{2a}/ \frac{-b^2}{4a}+c \right)$ [/mm] den "höchsten Punkt" hat, dass also:
$f(x) < f [mm] \left(-\frac{b}{2a} \right)$
[/mm]
für alle $x [mm] \ne -\frac{b}{2a}$ [/mm] gilt.
Nun ja, machen wir das mal:
Im Falle $x [mm] \ne -\frac{b}{2a}$ [/mm] ist ja:
[mm] $\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2>0$,
[/mm]
dies müssen wir voraussetzen. (Ist aber klar: Es gilt: [mm] $x^2>0$ [/mm] für alle $x [mm] \ne [/mm] 0$, akzeptierst du das? )
Dann folgt:
[mm] $\underbrace{a}_{<\, 0} \cdot \underbrace{\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2}_{>0} [/mm] < 0$,
und daher für alle $x [mm] \ne -\frac{b}{2a}$:
[/mm]
$f(x) = [mm] \underbrace{a \cdot \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 }_{< \, 0} [/mm] - [mm] \frac{b^2}{4a} [/mm] + c < - [mm] \frac{b^2}{4a} [/mm] + c = [mm] f\left( - \frac{b}{2a} \right)$,
[/mm]
was zu zeigen war. 
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Steffan,
erstmal danke für die schnelle Antwort! Das mit der Differentialrechnug stimmt wohl, das kann ich nocht nicht! :D
Mal eine kurze Zwischenfrage : Das mit
[mm] \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2>0 [/mm]
hat doch den Grund, dass das Quadrat jeder reellen Zahl für [mm] \ne 0 [/mm] positiv ist, oder?
Morgen lese ich mal weiter und antworte dir wieder! Bis dahin erstmal eine gute Nacht Steffan!
Gruß
Goldener_Sch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 So 21.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Goldener Schnitt!
> Mal eine kurze Zwischenfrage : Das mit
> [mm]\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2>0[/mm]
> hat doch den Grund,
> dass das Quadrat jeder reellen Zahl für [mm]\ne 0[/mm] positiv
> ist, oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Und für $x [mm] \ne [/mm] - [mm] \frac{b}{2a}$ [/mm] ist ja $x + [mm] \frac{b}{2a} \ne [/mm] 0$...
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
erstmal entschuldige, dass ich dich mit zwei "f" geschrieben habe, ich habe mich irgendwie verguckt!
Ich verstehe deinen Beweis bis auf die letzte Zeile. (welche ja die wichtigste Aussage in deinem Beweis ist) Irgendwie weis ich da nicht mehr so ganz wie das meinst. Könntest du das nicht mal bitte alles ein wenig komentieren. Ich weis, dass sich das für einen, der schon ein Studium abgeschloßen hat, auch so einsichtlich sein wird, aber so weit bin ich eben noch nicht :D
Desswegen bitte ich dich, dass alles mal ein wenig zu kommentieren.
Ich danke schon mal wieder im Vorraus!!!
Gruß
Goldener_Sch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 So 21.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Goldener_Schnitt!
> Hallo Stefan,
> erstmal entschuldige, dass ich dich mit zwei "f"
> geschrieben habe, ich habe mich irgendwie verguckt!
Das wird er verkraften !
In seinem Alter steht da drüber ...
> Ich verstehe deinen Beweis bis auf die letzte Zeile.
> (welche ja die wichtigste Aussage in deinem Beweis ist)
Meinst Du diese Zeile?
$f(x) = [mm] \underbrace{a \cdot \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 }_{< \, 0} [/mm] - [mm] \frac{b^2}{4a} [/mm] + c < - [mm] \frac{b^2}{4a} [/mm] + c = [mm] f\left( - \frac{b}{2a} \right)$
[/mm]
Ihr wolltet ja zeigen, dass gilt: $f(x) \ < \ - [mm] \frac{b^2}{4a} [/mm] + c$ für $x \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] -\frac{b}{2a}$
[/mm]
Nun hat Stefan die (umgestellte) Parabelgleichung (in der Scheitelpunktsform) aufgestellt:
$f(x) = a [mm] \cdot \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 [/mm] - [mm] \frac{b^2}{4a} [/mm] + c$
Vorher hat er ja gezeigt, dass gilt: $a [mm] \cdot \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 [/mm] \ < \ 0$ .
Dies gilt wegen "Minus × Plus = Minus", da $a \ < \ 0$ und [mm] $\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 [/mm] \ > \ 0$
Bis hierher klar?
Da also $a [mm] \cdot \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 [/mm] \ < \ 0$ gilt, folgt daraus, dass
$f(x) = a [mm] \cdot \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 [/mm] - [mm] \frac{b^2}{4a} [/mm] + c \ < \ - [mm] \frac{b^2}{4a} [/mm] + c$ .
Dieser Wert $- [mm] \frac{b^2}{4a} [/mm] + c$ entspricht aber nun exakt dem Funktionswert des Scheitelpunktes $- [mm] \frac{b^2}{4a} [/mm] + c \ = \ [mm] f\left( - \frac{b}{2a} \right)$
[/mm]
Damit hat Stefan gezeigt, dass für alle $x \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] -\frac{b}{2a}$ [/mm] :
[mm] $\red{f(x)} [/mm] \ = \ a [mm] \cdot \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 [/mm] - [mm] \frac{b^2}{4a} [/mm] + c < - [mm] \frac{b^2}{4a} [/mm] + c \ = \ [mm] \red{f\left( - \frac{b}{2a} \right)}$
[/mm]
Oder kurz: [mm] $\red{f(x)} [/mm] \ < \ [mm] \red{f\left( - \frac{b}{2a} \right)}$
[/mm]
Nun alle Klarheiten beseitigt?
Gruß
Loddar
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Hallo Stefan und Lodder,
erstmal danke für eure Antworten! Die Erklärung von Lodder hat schon ganz schön geholfen! ALLES VERSTANDEN! Ein paar Worte können Wunder wirken! Es ist also auch möglich, dies auf diese Weise für den umgedrehten Fall, ein Minium, zu beweisen. Nochmal danke dafür!
Ach ja noch was Lodder...
> Nun alle Klarheiten beseitigt?
Will ich nicht hoffen....
Gruß
Goldener_Sch.
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![[angst]](/images/smileys/angst.gif "[angst]"){kind=small}
(bin ich seit heute, Loddar aber übrigens auch, und das schon längere Zeit... 