Quadratische Funktion mit Matr < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Sa 25.02.2012 | | Autor: | ecko |
Hallo, ich hab ein kleines Verständniss Problem mit bei der Umwandlung von Quadratischen Funktionen in Matrixschreibweise.
Am besten ich zeig das mal an einem Beispiel.
[mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] = [mm] 2x_{1}^2 [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] - [mm] 4x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] + 3
hat die Form [mm] \bruch{1}{2}x^THx [/mm] + [mm] b^{T}x [/mm] + c
also: [mm] \bruch{1}{2}(x_1 x_2)\pmat{ H_{1} & H_{2} \\ H_{2} & H_{1} }\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] + (-4 [mm] -2)\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] + 3
Wie komm ich nun auf die die Werte [mm] H_{1}, H_{2}? [/mm] Die Matrix H ist übrigens symmetrisch.
Danke für jede Hilfe
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Hallo,
Eventuell hilft dir:
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadrik#Beispiele
für allgemeine Beispiele mal zum Verständis.
LG Scherzkrapferl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Sa 25.02.2012 | | Autor: | ecko |
Ich hab das ausversehen doppelt eingestellt, da ich die Funktion falsch hingeschrieben habe, das 2. Glied soll [mm] x_{2}^2 [/mm] sein nicht [mm] x_{2}
[/mm]
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> Hallo, ich hab ein kleines Verständniss Problem mit bei
> der Umwandlung von Quadratischen Funktionen in
> Matrixschreibweise.
>
> Am besten ich zeig das mal an einem Beispiel.
> [mm]\bruch{1}{2}(x_1 x_2)\pmat{ H_{1} & H_{2} \\
H_{2} & H_{1} }\vektor{x_{1} \\
x_{2}}[/mm]
> [mm]f(x_{1},x_{2})[/mm] = [mm]2x_{1}^2[/mm] + [mm]x^{\red}_{2}[/mm] - [mm]4x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2}[/mm] + 3
>
> hat die Form [mm]\bruch{1}{2}x^THx[/mm] + [mm]b^{T}x[/mm] + c
>
> also: [mm]\bruch{1}{2}(x_1 x_2)\pmat{ H_{1} & H_{2} \\
H_{2} & H_{1} }\vektor{x_{1} \\
x_{2}}[/mm]
> + (-4 [mm]-2)\vektor{x_{1} \\
x_{2}}[/mm] + 3
>
> Wie komm ich nun auf die die Werte [mm]H_{1}, H_{2}?[/mm] Die Matrix
> H ist übrigens symmetrisch.
Hallo,
ich habe oben mal in rot das Quadrat eingefügt, welches Du vermutlich beim Tippen vergessen hast.
die Frage kannst Du Dir eigentlich selbst beantworten:
es muß doch sein [mm]\bruch{1}{2}(x_1 x_2)\pmat{ H_{1} & H_{2} \\
H_{2} & H_{1} }\vektor{x_{1} \\
x_{2}}[/mm] [mm] =2x_1^2+x_2^2
[/mm]
<==> [mm] \bruch{1}{2}(H_1x_1^2 [/mm] + [mm] H_1x_2^2+2H_2x_1x_2)=2x_1^2+x_2^2=2x_1^2+x_2^2+0*x_1x_2.
[/mm]
Koeffizientenvergleich (gucken, was vor [mm] x_1^2, x_2^2 [/mm] und [mm] x_1x_2 [/mm] steht) liefert
[mm] H_1=4 [/mm] und [mm] H_1=2 [/mm] und [mm] H_2=0. [/mm] Das kann nicht klappen...
Ich denke aber, Du suchst eher eine Matrix [mm] \pmat{h_1&h_2\\h_2&h_3}. [/mm]
Könnte das sein?
Wie Du sie finden kannst, weißt Du nun.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Sa 25.02.2012 | | Autor: | ecko |
Danke, ja das mit [mm] H_{3} [/mm] hab ich wohl etwas verwechselt durch die symmetrie, aber ist ja klar das nur die [mm] H_{2} [/mm] gleich sein müssen, die Diagonaleinträge sind ja egal, also vielen dank für diesen Hinweis!!!
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