Quadratisch integrierbare ZV < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien X,Y,Z quadratisch integrierbare Zufallsvariablen mit positiver Varianz.
a) Zeigen Sie, dass wenn X,Z unkorrerliert sind und Y,Z unkorrerliert sind, dann ist auch X+Y,Z unkorrerliert.
b) Widerlegen Sie, dass wenn X,Z unkorrerliert sind Y,Z unkorrerliert sind, dass dann auch Y,Z unkorrerliert sind. |
Hallo,
zu a) für unkorrerlierte und damit erst recht unabhängige ZV gilt:
$Kov(X,Y) = E(X*Y)-E(X)*E(Y)$
$Kov(X,Z)=0$ und $Kov(Y,Z)=0$
zz: $Kov(X+Y,Z)=0$
$Kov(X+Y,Z) =E((X+Y)*Z)-E(X+Y)*E(Z) = [E(X*Z)+E(Y*Z)]-E(X)*E(Z)-E(Y)*E(Z)= E(X*Z)-E(X)*E(Z)+E(Y*Z)-E(Y)*E(Z) = 0+0+0 =0 $
zu b)
zz: $Kov(X,Y) [mm] \ne [/mm] 0$
Gegenbeispiel: $x=y$
$Kov(X,Y)=E(X*Y)-E(X)*E(Y)= [mm] E(X^2)-E(X)*E(X)=E(X^2)-E(X)^2 [/mm] = Var(x)$,
Var(x) immer pos. daraus folgt X,Y nicht unkorrerliert.
ist es richtig?
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 So 15.03.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo AragornII!
> Es seien X,Y,Z quadratisch integrierbare Zufallsvariablen
> mit positiver Varianz.
>
> a) Zeigen Sie, dass wenn X,Z unkorrerliert sind und Y,Z
> unkorrerliert sind, dann ist auch X+Y,Z unkorrerliert.
>
> b) Widerlegen Sie, dass wenn X,Z unkorrerliert sind Y,Z
> unkorrerliert sind, dass dann auch Y,Z unkorrerliert sind.
Die zweite Teilaufgabe ist falsch aufgeschrieben. Zu zeigen:
[mm] $Kov(X,Z)=0\text{ und } [/mm] Kov(Y,Z)=0$
[mm] $\Rightarrow Kov(X,Y)\not=0$.
[/mm]
> Hallo,
>
> zu a) für unkorrerlierte und damit erst recht unabhängige ZV gilt:
Nein. Im Allgemeinen gilt nur die Rückrichtung.
> [mm]Kov(X,Y) = E(X*Y)-E(X)*E(Y)[/mm]
>
> [mm]Kov(X,Z)=0[/mm] und [mm]Kov(Y,Z)=0[/mm]
>
> zz: [mm]Kov(X+Y,Z)=0[/mm]
> [mm]Kov(X+Y,Z) =E((X+Y)*Z)-E(X+Y)*E(Z) = [E(X*Z)+E(Y*Z)]-E(X)*E(Z)-E(Y)*E(Z)= E(X*Z)-E(X)*E(Z)+E(Y*Z)-E(Y)*E(Z) = 0+0+0 =0[/mm]
Wieso addierst du am Ende drei Nullen? Es gilt:
[mm] $E(X*Z)-E(X)*E(Z)+E(Y*Z)-E(Y)*E(Z)=Kov(X,Z)+Kov(Y,Z)\overset{\text{Voraussetzung}}{=}0+0=0$.
[/mm]
> zu b)
> zz: [mm]Kov(X,Y) \ne 0[/mm]
>
> Gegenbeispiel: [mm]x=y[/mm]
Du meinst: [mm] $X:=Y\$.
[/mm]
> [mm]Kov(X,Y)=E(X*Y)-E(X)*E(Y)= E(X^2)-E(X)*E(X)=E(X^2)-E(X)^2 = Var(x)[/mm],
Am Ende muss ein großes [mm] $X\$ [/mm] stehen. Es gilt:
$Kov(X,X)=Var(X)$.
> Var(x) immer pos. daraus folgt X,Y nicht unkorrerliert.
Nein. Im Allgemeinen kann die Varianz einer Zufallsvariable auch
Null sein. Die Begründung folgt aus der Voraussetzung.
> ist es richtig?
Ja, bis auf die kleinen Fehler. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 So 15.03.2015 | | Autor: | AragornII |
okay danke :)
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