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Forum "Zahlentheorie" - Quadrate in endlichen Körpern
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Quadrate in endlichen Körpern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 So 11.03.2007
Autor: anna_s

Aufgabe
Sei [mm] q=2^n , n\in\IN [/mm]
Dann sind alle Elemente von [mm] F_q [/mm] Quadrate.

Hallo,
Ich habe mir die Aufgabenstellung anschaulich schon klar gemacht und weiß, dass der Beweis über die Bijektion der Abbildung [mm] f(x)=x^2 [/mm] in [mm] F_q [/mm] geht. Bräuchte einen Tipp wie man formal beweist, dass f bijektiv ist.
Vielen Dank im Voraus,
Anna

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Quadrate in endlichen Körpern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 So 11.03.2007
Autor: Leopold_Gast

Zeige, daß [mm]f[/mm] injektiv ist. Wegen der Endlichkeit der Urbildmenge ist das mit der Bijektivität äquivalent. Beachte die Regel

[mm]\left( x_1 + x_2 \right)^{\ 2} = x_1^{\ 2} + x_2^{\ 2}[/mm]

Und statt [mm]+[/mm] kann man bei Charakteristik 2 genausogut [mm]-[/mm] schreiben.

Bezug
                
Bezug
Quadrate in endlichen Körpern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 So 11.03.2007
Autor: anna_s

Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Kann ich den Beweis also so machen:

Sei [mm] f(x)=f(y) [/mm], d.h. [mm] f(x)-f(y)=0 [/mm]. Dann gilt:
[mm] 0=x^2 - y^2 = (x-y)^2 [/mm] und damit [mm] x-y=o [/mm], also f injektiv



Bezug
                        
Bezug
Quadrate in endlichen Körpern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 So 11.03.2007
Autor: Leopold_Gast

Genau so geht das!

Bezug
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