Quadrate ganzer Zahlen < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Sa 24.05.2008 | | Autor: | ANTONIO |
| Aufgabe | | Beweis, daß die Quadtrate aller natürlichen Zahlen > 1, also 4,9,16,25,... sich als Differenz von 2 anderen Quadratzahlen bilden lassen |
ist das eine mathematische Banalität, die sich quasi von selbst versteht oder ist mein Beweisweg tatsächlich sinnvoll?
Mein Weg:
a) ungerade Quadratzahlen: Da der Abstand zwischen [mm] n^{2} [/mm] und [mm] (n+1)^{2} [/mm] alle ungeraden Zahlen <= 3 durchläuft, lassen sich durch Differenzbildung alle ungeraden Quadratzahlen abbilden:
[mm] (n+1)^{2} [/mm] - [mm] n^{2} [/mm] = 2n +1
b) zu geraden Quadratzahlen:
[mm] (n+2)^{2} [/mm] - [mm] n^{2} [/mm] = 4(n +1), gibt es gerade Quadtratzahlen, die nicht in dieser Zahlenfolge auftauchen? Nein, da alle geraden Quadtratzahlen durch 4 teilbar sind weil: sie müssen durch 2 teilbar sein, sonst wären sie nicht gerade und da sie Quadratzahlen sind muß der Primfaktor 2 auch im Quadtrat vorkommen, also sind sie alle durch 4 teilbar (er muß im Quadtrat vorkommen, weil 2 in der Basis vorkommen muss/Corollar zum Fundamentalsatz der Artithmetik: wenn eine Primzahl der Teiler eines Produktes ab ist, so muß p ein Teiler entweder von a oder von b sein)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Von selbst verstehen tut sich nur das wenigste meiner Meinung nach. Deshalb ist hier ein Beweis sinnvoll.
Finde den Beweis auch ganz gut, obwohl ich bei b) einfach sagen würde, dass jede gerade Quadratzahl durch 4 teilbar ist, da sie in der Form 4n² dargestellt werden kann, was daran liegt, dass das Quadrat einer geraden Zahl 2n eben dieses 4n² ist.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Sa 24.05.2008 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo Teufel,
danke für Deine Einschätzung + Dein Hinweis zu b) leuchtet mir ein.
Viele Grüße Antonio
|
|
|
|
