Quadr.Gleichg Fläche= SinusFl < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wie lautet die Funktion der Form [mm] f(x)=ax^{2}+bx, [/mm] die zwischen ihren Nullstellen und der x-Achse die gleiche Fläche und den gleichen Hochpunkt besitzt wie die Sinusfunktion g(x)=sin(x) |
Ich habe mir das folgendermaßen überlegt und gerechnet:
Die Nullstellen der Sinusfunktion sind 0 und [mm] \pi
[/mm]
Für die Fläche der Sinusfunktion gilt:
[mm] F_{S}=\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}=-cos(\pi)+cos(0)=1+1=2
[/mm]
Also muss die Fläche der Parabel ebenfalls 2 sein.
[mm] F_{P}=\integral_{0}^{\pi}{(ax^{2}+bx) dx}=2
[/mm]
Dann bekomme ich raus:
[mm] \bruch{a\pi^{3}}{3}+\bruch{b\pi^{2}}{2}=2
[/mm]
Erste Ableitung der Parabel:
f'(x)=2ax+b
Der Hochpunkt (sowohl für die Sinusfunktion als auch für die gesuchte Parabel) liegt genau in der Mitte, also bei [mm] x=\bruch{\pi}{2}.
[/mm]
0= [mm] a\pi+b
[/mm]
[mm] b=-a\pi
[/mm]
Wenn ich das in die Gleichung oben einsetze kriege ich schließlich raus:
[mm] a=-\bruch{12}{\pi^{3}} [/mm] und [mm] b=\bruch{12}{\pi^{2}} [/mm]
Die gesuchte Funktion würde also lauten:
[mm] f(x)=-\bruch{12}{\pi^{3}} x^{2}+\bruch{12}{\pi^{2}}x [/mm]
Bin aber nicht sicher, ob das so stimmen kann, oder ob da irgendwo ein Denkfehler ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Mi 09.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Mir ist noch ein Fehler in der Formulierung der Aufgabe aufgefallen:
Es soll nur der x-Wert der beiden Hochpunkte identisch sein (nicht der y-Wert)
Wenn x-und y-Wert übereinstimmen sollten, dann müsste die Funktion lauten: [mm] f(x)=ax^{2}+bx+c
[/mm]
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Hallo rabilein!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Alles richtig gemacht! Ich habe dasselbe heraus.
Gruß vom
Roadrunner
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