Quadermaß und Abschluss < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:14 Do 21.11.2013 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | a.) Man beweise oder widerlege: Für M [mm] \subset \IR^{d} [/mm] messbar gilt [mm] \mu(\overline{M})=\mu(M)
[/mm]
b.) Sei A [mm] \subset \IR^{d} [/mm] eine diskrete Menge, d.h. A habe keinen Häufungspunkt und sei m: A [mm] \to [0,\infty) [/mm] eine Funktion.
Man zeige [mm] \mu(Q):=\summe_{p\in A \cap Q}^{} [/mm] m(p) definiert ein Quadermaß |
Zu a.) Meiner Meinung nach stimmt die Aussage, da der Abschluss ja die Menge M geschnitten mit den Nullmengen beinhaltet. Da das Maß der Nullmengen 0 ist müsste ja das Maß des Abschlusses dem Maß von M entsprechen?
b.)Also zu zeigen ist.
i.) monoton: [mm] \mu(Q) \le \mu(Q') [/mm] für Q [mm] \subset [/mm] Q'
ii.) additiv: Falls für Q [mm] \cap [/mm] Q' = [mm] \emptyset [/mm] mit [mm] Q\cupQ' \in Q_d [/mm] gilt [mm] \mu(Q\cupQ')=\mu(Q)+\mu(Q')
[/mm]
iii.)regulär: [mm] \gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] Q [mm] \in Q_d \exists [/mm] Q' [mm] \in Q_d, [/mm] Q' offen, [mm] Q\subset [/mm] Q' und [mm] \mu(Q') \le \mu(Q)+ \varepsilon
[/mm]
zu i)
[mm] \mu(Q')=\summe_{p\in A \cap Q'}^{} m(p)=\summe_{p\in A \cap (Q'\backslash Q)}^{} m(p)+\summe_{p\in A \cap Q}^{} m(p)=\summe_{p\in A \cap (Q'\backslash Q)}^{} [/mm] m(p)+ [mm] \mu(Q) \le \mu(Q) [/mm] , da [mm] \summe_{p\in A \cap (Q'\backslash Q)}^{} [/mm] m(p) [mm] \ge [/mm] 0 gilt.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:20 Do 21.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> a.) Man beweise oder widerlege: Für M [mm]\subset \IR^{d}[/mm]
> messbar gilt [mm]\mu(\overline{M})=\mu(M)[/mm]
> b.) Sei A [mm]\subset \IR^{d}[/mm] eine diskrete Menge, d.h. A habe
> keinen Häufungspunkt und sei m: A [mm]\to [0,\infty)[/mm] eine
> Funktion.
> Man zeige [mm]\mu(Q):=\summe_{p\in A \cap Q}^{}[/mm] m(p) definiert
> ein Quadermaß
> Zu a.) Meiner Meinung nach stimmt die Aussage, da der
> Abschluss ja die Menge M geschnitten mit den Nullmengen
> beinhaltet. Da das Maß der Nullmengen 0 ist müsste ja das
> Maß des Abschlusses dem Maß von M entsprechen?
Die Aussage ist falsch ! Nimm mal d=1 und [mm] M=\IQ.
[/mm]
> b.)Also zu zeigen ist.
> i.) monoton: [mm]\mu(Q) \le \mu(Q')[/mm] für Q [mm]\subset[/mm] Q'
> ii.) additiv: Falls für Q [mm]\cap[/mm] Q' = [mm]\emptyset[/mm] mit [mm]Q\cupQ' \in Q_d[/mm]
> gilt [mm]\mu(Q\cupQ')=\mu(Q)+\mu(Q')[/mm]
> iii.)regulär: [mm]\gdw \forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\forall[/mm] Q [mm]\in Q_d \exists[/mm]
> Q' [mm]\in Q_d,[/mm] Q' offen, [mm]Q\subset[/mm] Q' und [mm]\mu(Q') \le \mu(Q)+ \varepsilon[/mm]
>
> zu i)
> [mm]\mu(Q')=\summe_{p\in A \cap Q'}^{} m(p)=\summe_{p\in A \cap (Q'\backslash Q)}^{} m(p)+\summe_{p\in A \cap Q}^{} m(p)=\summe_{p\in A \cap (Q'\backslash Q)}^{}[/mm]
> m(p)+ [mm]\mu(Q) \le \mu(Q)[/mm]
Da sollte am Ende [mm] \ge [/mm] stehen.
FRED
> , da [mm]\summe_{p\in A \cap (Q'\backslash Q)}^{}[/mm]
> m(p) [mm]\ge[/mm] 0 gilt.
> Stimmt das so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:10 Do 21.11.2013 | | Autor: | Gnocchi |
> Die Aussage ist falsch ! Nimm mal d=1 und [mm]M=\IQ.[/mm]
>
Ales klar
Dann erhalte ich doch:
[mm] \mu(\overline{\IQ})=\mu(\IR) \not= \mu(\IQ)
[/mm]
> Da sollte am Ende [mm]\ge[/mm] stehen.
Sorry, mein Fehler.
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Hallo Gnocchi,
> > Die Aussage ist falsch ! Nimm mal d=1 und [mm]M=\IQ.[/mm]
> >
> Ales klar
> Dann erhalte ich doch:
> [mm]\mu(\overline{\IQ})=\mu(\IR) \not= \mu(\IQ)[/mm]
>
Genau! Vllt. schreibst du noch hin, was [mm]\mu(\IQ)[/mm] und was [mm]\mu(\IR)[/mm] ist und dass [mm]\mu[/mm] das Lebesguemaß sein soll ...
Gruß
schachuzipus
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