Quader - minimale Kantenlänge < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es soll ein quaderförmiger Behälter mit einem Volumen von [mm] 6m^3 [/mm] gebaut werden, bei dem die Länge dreimal so groß ist wie die Breite. Alle 12 Kanten solllen durch Winkeleisen verstärkt werden. Der geringste Materialverbrauch an Winkeleisen ergibt sich, wenn die Summe der Längen aller Kanten minimal wird. Berechnen Sie für diesen Fall Länge, Breite und Höhe des Behälters. |
V= lbh
l=3b
h=V: [mm] (3b^2)
[/mm]
Und jetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Sa 13.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Carolin,
stelle als erstes die zu minimierende Funktion auf (Hauptbedingung):
"...ergibt sich, wenn die Summe der Längen aller Kanten minimal wird..."
L(l,b,h) = ... jetzt bist du dran...
Die Funktion L gibt die Summe der Längen aller Kanten an
und hängt natürlich von der Länge l, der Breite b und der Höhe h des Quaders ab.
Jetzt die Nebenbedingungen:
"mit einem Volumen von [mm] $6m^3$ [/mm] gebaut werden, bei dem die Länge dreimal so groß ist wie die Breite"
6 = .......das Volumen ausgedrückt in l,b,h
l = 3b
Setze dann l = 3b in die Volumenformel ein und forme sie nach h um.
Mit Hilfe dieser Formel und l = 3b kannst du dann aus der Hauptbedingung oben die Variablen l und b durch Einsetzen herauswerfen.
Du erhältst eine Zielfunktion nur noch mit der Variablen h.
Die muß jetzt minimiert werden. Dazu kannst du die bekannten Methoden aus der Differenzialrechnung benutzen.
Streng genommen müßtest du dann noch sogenannte "Randwerte" prüfen. Aber wir lassen das jetzt erstmal beiseite, da du offenbar noch wenig vertraut mit der Vorgehensweise bist.
Versuchs mal so. Wenn du nicht weiterkommst, poste deinen Rechenweg.
Gruß
Will
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Danke!
Also bei L(l,b,h)=4b+4l+4h (Stimmt das? Wusste nicht wirklich, was ich hier machen sollte?!)
6=lbh
l=3b
[mm] h=6:(3b^2)
[/mm]
Und jetzt in L eingesetzt: L=16b + [mm] 6:(3b^2)
[/mm]
Meine Zielfunktion hat aber als Variable nur b und nicht wie angegeben nur h?!
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> Danke!
> Also bei L(l,b,h)=4b+4l+4h (Stimmt das? Wusste nicht
> wirklich, was ich hier machen sollte?!)
>
> 6=lbh
> l=3b
> [mm]h=6:(3b^2)[/mm]
>
> Und jetzt in L eingesetzt: L=16b + [mm]6:(3b^2)[/mm]
> Meine Zielfunktion hat aber als Variable nur b und nicht
> wie angegeben nur h?!
>
Hallo,
das macht nichts. Dann berechnest Du eben das b, für welches die Gesamtlänge der Kanten am kleinsten wird.
Bei der Zielfunktion L(b) ist Dir ein Fehler (Flüchtigkeit) unterlaufen, es muß heißen L(b)= L=16b + [mm] 4*(6:(3b^2))=16b+\bruch{8}{b^2}.
[/mm]
Nun kannst Du das gewohnte Procedere starten mit Ableiten usw. Du leitest jetzt eben nicht nach x ab, sondern nach b.
Wenn Du schließlich Dein [mm] b_{min} [/mm] gefunden hast, erhältst Du durch Einsetzen in
> 6=lbh
> l=3b
das passende l und h.
Gruß v. Angela
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