Q(\wurzel{5}+\wurzel{7}) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] E=\IQ(\wurzel{5}+\wurzel{7})
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] E=\IQ(\wurzel{5},\wurzel{7}) [/mm] |
Hallo!
Also die eine Richtung ist ja nicht so schwer:
[mm] "\subseteq":
[/mm]
[mm] a+b((\wurzel{5}+\wurzel{7})=a+b(\wurzel{5})+b(\wurzel{7}) \in \IQ(\wurzel{5},\wurzel{7})
[/mm]
aber bei der anderen Richtung hab ich dann meine Probleme.
Ich glaube ich muss jetzt zeigen, dass
[mm] \wurzel{5} \in \IQ(\wurzel{5}+\wurzel{7}) [/mm] &
[mm] \wurzel{7} \in \IQ(\wurzel{5}+\wurzel{7})
[/mm]
leider schaffe ich das nicht, und wäre über einen Tipp sehr erfreut!
mfg
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> Sei [mm]E=\IQ(\wurzel{5}+\wurzel{7})[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]E=\IQ(\wurzel{5},\wurzel{7})[/mm]
> Hallo!
>
> Also die eine Richtung ist ja nicht so schwer:
>
> [mm]"\subseteq":[/mm]
> [mm]a+b((\wurzel{5}+\wurzel{7})=a+b(\wurzel{5})+b(\wurzel{7}) \in \IQ(\wurzel{5},\wurzel{7})[/mm]
>
> aber bei der anderen Richtung hab ich dann meine Probleme.
> Ich glaube ich muss jetzt zeigen, dass
> [mm]\wurzel{5} \in \IQ(\wurzel{5}+\wurzel{7})[/mm] &
> [mm]\wurzel{7} \in \IQ(\wurzel{5}+\wurzel{7})[/mm]
>
hallo mfg,
mein Bauchgefühl sagt mir, dass man da mittels
der binomischen Formeln wohl etwas anstellen
könnte. Nur ein paar lockere Anregungen zum
Ausprobieren:
$\ [mm] (\wurzel{5}+\wurzel{7})^2\ [/mm] =\ ?$
$\ u-v\ =\ [mm] \bruch{u^2-v^2}{u+v}$
[/mm]
$\ [mm] (\wurzel{5}-\wurzel{7})^2\ [/mm] =\ ?$
$(u+v=a)\ [mm] \wedge\ [/mm] (u-v=b)\ [mm] \Rightarrow\ u\,=\,\bruch{a+b}{2}$
[/mm]
LG
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danke für die schnelle Antwort!
hatte auch schon die Idee, aber ich bekomme es leider einfach nicht raus....
vllt noch ein weiterführender Tipp?
danke schonmal
lg
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Nennen wir einmal $\ [mm] \wurzel{7}+\wurzel{5}=t$ [/mm] und $\ [mm] \wurzel{7}-\wurzel{5}=s$
[/mm]
Es gilt [mm] t\in [/mm] E. Ob auch [mm] s\in [/mm] E, ist noch nicht klar.
In dem Oberkörper [mm] \IR [/mm] von [mm] \IQ [/mm] und E gilt aber $\ s*t=7-5=2$ ,
also müsste auch in E gelten:
$\ [mm] s=\bruch{s*t}{t}=\bruch{2}{t}$
[/mm]
und damit [mm] s\in [/mm] E. Aus [mm] t\in [/mm] E und [mm] s\in [/mm] E kann man leicht
schliessen, dass auch [mm] \wurzel{7} [/mm] und [mm] \wurzel{5} [/mm] in E liegen müssen.
Jetzt bin ich nur nicht ganz sicher, ob diese Argu-
mentation mit dem Erweiterungskörper [mm] \IR [/mm] für
deine Aufgabe zuläßig ist.
Gruß Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:22 Mo 02.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Nennen wir einmal [mm]\wurzel{7}+\wurzel{5}=t[/mm] und
> [mm]\wurzel{7}-\wurzel{5}=s[/mm]
>
> Es gilt [mm]t\in[/mm] E. Ob auch [mm]s\in[/mm] E, ist noch nicht klar.
>
> In dem Oberkörper [mm]\IR[/mm] von [mm]\IQ[/mm] und E gilt aber [mm]\ s*t=7-5=2[/mm] ,
> also müsste auch in E gelten:
>
> [mm]\ s=\bruch{s*t}{t}=\bruch{2}{t}[/mm]
>
> und damit [mm]s\in[/mm] E. Aus [mm]t\in[/mm] E und [mm]s\in[/mm] E kann man leicht
> schliessen, dass auch [mm]\wurzel{7}[/mm] und [mm]\wurzel{5}[/mm] in E liegen
> müssen.
> Jetzt bin ich nur nicht ganz sicher, ob diese Argu-
> mentation mit dem Erweiterungskörper [mm]\IR[/mm] für
> deine Aufgabe zuläßig ist.
Doch, das kann man so machen.
LG Felix
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> > Nennen wir einmal [mm]\wurzel{7}+\wurzel{5}=t[/mm] und
> > [mm]\wurzel{7}-\wurzel{5}=s[/mm] ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Hier hat sich ein sehr sonderbarer TeX-Fehler eingenistet,
der mir unverständlich ist. Es sollte heißen:
Nennen wir einmal $\ [mm] \wurzel{7}+\wurzel{5}=t$ [/mm] und $\ [mm] \wurzel{7}-\wurzel{5}=s$
[/mm]
> > Es gilt [mm]t\in E[/mm] . Ob auch [mm]s\in E[/mm] , ist noch nicht klar.
> >
> > In dem Oberkörper [mm]\IR[/mm] von [mm]\IQ[/mm] und [mm] $\,E$ [/mm] gilt aber [mm]\ s*t=7-5=2[/mm] ,
> > also müsste auch in E gelten:
> >
> > [mm]\ s=\bruch{s*t}{t}=\bruch{2}{t}[/mm]
> >
> > und damit [mm]s\in E[/mm] . Aus [mm]t\in E[/mm] und [mm]s\in E[/mm] kann man leicht
> > schliessen, dass auch [mm]\wurzel{7}[/mm] und [mm]\wurzel{5}[/mm] in $\ E$ liegen
> > müssen.
> > Jetzt bin ich nur nicht ganz sicher, ob diese Argu-
> > mentation mit dem Erweiterungskörper [mm]\IR[/mm] für
> > deine Aufgabe zuläßig ist.
>
> Doch, das kann man so machen.
>
> LG Felix
Hallo Felix,
Ich habe es mir auch noch einmal überlegt. Man könnte
wohl auch so argumentieren:
Wenn wir z.B. [mm] w:=\bruch{t}{2}+\bruch{1}{t} [/mm] setzen, so kann man zeigen,
dass $\ w>0$ und $\ [mm] w^2=7$ [/mm] ist. Also muss $\ w$ dem entsprechen,
was wir in [mm] \IR [/mm] als [mm] \wurzel{7} [/mm] bezeichnen.
Für den Nachweis, dass $\ [mm] w^2=7$ [/mm] ist, habe ich aber immer
noch Rechnungen in [mm] \IR [/mm] verwendet.
Jetzt hätte ich dazu doch noch eine Frage: Wie kann
man $\ [mm] E=\IQ(\wurzel{5}+\wurzel{7})=\IQ(t)$ [/mm] definieren, ohne auf [mm] \wurzel{5} [/mm] und [mm] \wurzel{7} [/mm]
explizit zurückzugreifen ? Ich habe gemerkt, dass das
adjungierte Element $\ t$ offenbar die Gleichung
$\ [mm] t^4-24*t^2+4=0$
[/mm]
erfüllen muss. Nun meine Frage: kann man $\ E$ definieren
als den Erweiterungskörper [mm] \IQ(t) [/mm] von [mm] \IQ [/mm] mit einem
Element [mm] t\notin \IQ [/mm] , welches dieser Gleichung genügt ?
Ist damit $\ E$ (bis auf Isomorphie) eindeutig festgelegt ?
Wahrscheinlich habe ich das einmal gewusst ...
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Mo 02.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > > Nennen wir einmal [mm]\wurzel{7}+\wurzel{5}=t[/mm] und
>
> > > [mm]\wurzel{7}-\wurzel{5}=s[/mm]
>
> Hier hat sich ein sehr sonderbarer TeX-Fehler eingenistet,
> der mir unverständlich ist. Es sollte heißen:
>
> Nennen wir einmal [mm]\ \wurzel{7}+\wurzel{5}=t[/mm] und [mm]\ \wurzel{7}-\wurzel{5}=s[/mm]
>
> > > Es gilt [mm]t\in E[/mm] . Ob auch [mm]s\in E[/mm] , ist noch nicht klar.
> > >
> > > In dem Oberkörper [mm]\IR[/mm] von [mm]\IQ[/mm] und [mm]\,E[/mm] gilt aber [mm]\ s*t=7-5=2[/mm]
> ,
> > > also müsste auch in E gelten:
> > >
> > > [mm]\ s=\bruch{s*t}{t}=\bruch{2}{t}[/mm]
> > >
> > > und damit [mm]s\in E[/mm] . Aus [mm]t\in E[/mm] und [mm]s\in E[/mm] kann man leicht
> > > schliessen, dass auch [mm]\wurzel{7}[/mm] und [mm]\wurzel{5}[/mm] in [mm]\ E[/mm]
> liegen
> > > müssen.
> > > Jetzt bin ich nur nicht ganz sicher, ob diese Argu-
> > > mentation mit dem Erweiterungskörper [mm]\IR[/mm] für
> > > deine Aufgabe zuläßig ist.
> >
> > Doch, das kann man so machen.
> >
> > LG Felix
>
>
> Hallo Felix,
>
> Ich habe es mir auch noch einmal überlegt. Man könnte
> wohl auch so argumentieren:
>
> Wenn wir z.B. [mm]w:=\bruch{t}{2}+\bruch{1}{t}[/mm] setzen, so
> kann man zeigen,
> dass [mm]\ w>0[/mm] und [mm]\ w^2=7[/mm] ist. Also muss [mm]\ w[/mm] dem
> entsprechen,
> was wir in [mm]\IR[/mm] als [mm]\wurzel{7}[/mm] bezeichnen.
Dass $w > 0$ ist braucht man ja nicht zu zeigen: aus [mm] $w^2 [/mm] = 7$ folgt ja schon $w = [mm] \pm \sqrt{7}$, [/mm] und mit [mm] $-\sqrt{7}$ [/mm] waere auch [mm] $-(-\sqrt{7}) [/mm] = [mm] \sqrt{7}$ [/mm] im Koerper.
> Für den Nachweis, dass [mm]\ w^2=7[/mm] ist, habe ich aber immer
> noch Rechnungen in [mm]\IR[/mm] verwendet.
>
> Jetzt hätte ich dazu doch noch eine Frage: Wie kann
> man [mm]\ E=\IQ(\wurzel{5}+\wurzel{7})=\IQ(t)[/mm] definieren,
> ohne auf [mm]\wurzel{5}[/mm] und [mm]\wurzel{7}[/mm]
> explizit zurückzugreifen ? Ich habe gemerkt, dass das
> adjungierte Element [mm]\ t[/mm] offenbar die Gleichung
>
> [mm]\ t^4-24*t^2+4=0[/mm]
Dies ist vermutlich das Minimalpolynom von $t$ ueber [mm] $\IQ$.
[/mm]
> erfüllen muss. Nun meine Frage: kann man [mm]\ E[/mm] definieren
> als den Erweiterungskörper [mm]\IQ(t)[/mm] von [mm]\IQ[/mm] mit einem
> Element [mm]t\notin \IQ[/mm] , welches dieser Gleichung genügt ?
> Ist damit [mm]\ E[/mm] (bis auf Isomorphie) eindeutig festgelegt ?
Nun, man kann natuerlich den Zerfaellungskoerper von dem Polynom ueber [mm] $\IQ$ [/mm] nehmen; da drinnen hat das Polynom Nullstellen, womit es Elemente gibt die diese Gleichung erfuellen.
Ich wuerde leicht anderes vorgehen: ich beginne mit dem Zerfaellungskoerper von [mm] $(X^2 [/mm] - 5) [mm] (X^2 [/mm] - 7)$ ueber [mm] $\IQ$; [/mm] eine Nullstelle von [mm] $X^2 [/mm] - 5$ bezeichne ich als $a$, eine Nullstelle von [mm] $X^2 [/mm] - 7$ mit $b$. Dann sind $a$ und $b$ Elemente, die [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{7}$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] entsprechen. Das Element $t$ ist dann $a + b$. Und damit kann ich rechnen, ohne [mm] $\IR$ [/mm] zu benoetigen, und zeigen dass der von $t$ erzeugte Unterkoerper gleich dem von $a$ und $b$ erzeugten Unterkoerper ist (welcher wiederum gleich dem Zerfaellungskoerper ist, da [mm] $(X^2 [/mm] - 5) [mm] (X^2 [/mm] - 7) = (X + a) (X - a) (X + b) (X - b)$ ist).
LG Felix
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Hi Felix,
> > [mm]\ t^4-24*t^2+4=0[/mm]
>
> Dies ist vermutlich das Minimalpolynom von [mm]t[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm].
Das habe ich mir auch gedacht - nur eben sind mir
die entsprechenden Begriffe momentan etwas fern-
ich sollte wieder mal was lesen.
> Ich wuerde leicht anderes vorgehen: ich beginne mit dem
> Zerfaellungskoerper von [mm](X^2 - 5) (X^2 - 7)[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm]; eine
> Nullstelle von [mm]X^2 - 5[/mm] bezeichne ich als [mm]a[/mm], eine Nullstelle
> von [mm]X^2 - 7[/mm] mit [mm]b[/mm].
Na gut, ich wollte eben gerade nicht von den
einzelnen Werten [mm] \wurzel{5} [/mm] und [mm] \wurzel{7} [/mm] ausgehen, sondern
nur von dem einen Objekt t , ohne schon
vorauszusetzen, dass es der Summe der beiden
Wurzeln entspricht! Natürlich habe ich die Gleichung
mit dieser Intention entworfen, aber ich wollte dann
rein von dem zunächst abstrakt definierten Objekt t
ausgehend nachweisen, dass dann auch [mm] \wurzel{5} [/mm] und [mm] \wurzel{7}
[/mm]
zu [mm] \IQ(t) [/mm] gehören müssen.
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:00 Di 03.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Al
> > Ich wuerde leicht anderes vorgehen: ich beginne mit dem
> > Zerfaellungskoerper von [mm](X^2 - 5) (X^2 - 7)[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm]; eine
> > Nullstelle von [mm]X^2 - 5[/mm] bezeichne ich als [mm]a[/mm], eine Nullstelle
> > von [mm]X^2 - 7[/mm] mit [mm]b[/mm].
>
>
> Na gut, ich wollte eben gerade nicht von den
> einzelnen Werten [mm]\wurzel{5}[/mm] und [mm]\wurzel{7}[/mm] ausgehen,
> sondern
> nur von dem einen Objekt t , ohne schon
> vorauszusetzen, dass es der Summe der beiden
> Wurzeln entspricht!
Das stimmt, allerdings willst du ja schliesslich von [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] bzw. [mm] $\sqrt{7}$ [/mm] sprechen, und dazu brauchst du diese beiden Objekte irgendwoher. Man kann natuerlich zeigen, dass das konstruierte Element zum Quadrat gleich 5 bzw. 7 ist, womit man das dann eigentlich hat -- halt bis auf's Vorzeichen. Aber schoener ist es, sich im Voraus darauf festzulegen, welches Element [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] und welches [mm] $\sqrt{7}$ [/mm] ist, damit man keine Probleme mit den Vorzeichen bekommt.
> Natürlich habe ich die Gleichung
> mit dieser Intention entworfen, aber ich wollte dann
> rein von dem zunächst abstrakt definierten Objekt t
> ausgehend nachweisen, dass dann auch [mm]\wurzel{5}[/mm] und
> [mm]\wurzel{7}[/mm]
> zu [mm]\IQ(t)[/mm] gehören müssen.
LG Felix
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Hallo Felix,
> > Na gut, ich wollte eben gerade nicht von den
> > einzelnen Werten [mm]\wurzel{5}[/mm] und [mm]\wurzel{7}[/mm] ausgehen, sondern
> > nur von dem einen Objekt t , ohne schon
> > vorauszusetzen, dass es der Summe der beiden
> > Wurzeln entspricht!
> Das stimmt, allerdings willst du ja schliesslich von
> [mm]\sqrt{5}[/mm] bzw. [mm]\sqrt{7}[/mm] sprechen, und dazu brauchst du diese
> beiden Objekte irgendwoher. Man kann natuerlich zeigen,
> dass das konstruierte Element zum Quadrat gleich 5 bzw. 7
> ist, womit man das dann eigentlich hat -- halt bis auf's
> Vorzeichen. Aber schoener ist es, sich im Voraus darauf
> festzulegen, welches Element [mm]\sqrt{5}[/mm] und welches [mm]\sqrt{7}[/mm]
> ist, damit man keine Probleme mit den Vorzeichen bekommt.
Diese Gefahr der "Verwechslung" besteht wohl nicht.
Oder vielleicht sollte ich es anders sagen: die mög-
lichen Vertauschungen liegen in der Natur der Sache.
Ich definiere einmal: t sei eine (beliebige, aber dann
einfach durch die Bezeichnung t "ausgezeichnete")
Lösung der Gleichung [mm] t^4-24t^2+4=0. [/mm] Dann setze ich
[mm] v:=\bruch{t}{2}-\bruch{1}{t} [/mm] und [mm] w:=\bruch{t}{2}+\bruch{1}{t}
[/mm]
und weise durch Anwendung der Gleichung nach, dass
[mm] v^2=5 [/mm] und [mm] w^2=7 [/mm] sein muss.
Dann setze ich weiter einfach
[mm] \wurzel{5}:=v=\bruch{t}{2}-\bruch{1}{t} [/mm] und [mm] \wurzel{7}:=w=\bruch{t}{2}+\bruch{1}{t}
[/mm]
Es stünde mir frei, stattdessen z.B. [mm] \wurzel{5}:=-\bruch{t}{2}+\bruch{1}{t} [/mm] zu
definieren und dazu die Definition von w stehen zu
lassen. Effektiv können wir die gewohnten Rollen
der 4 reellen Zahlen
[mm] $\wurzel{5}\ \,,\, -\wurzel{5}\ \,,\,\wurzel{7}\ \,,\, -\wurzel{7}$ [/mm]
auf vielfältige Art permutieren. Sobald wir die zunächst
etwas willkürlichen Definitionen gesetzt haben, ist die
formale Algebra in [mm] E=\IQ(t) [/mm] festgelegt, und alle Aus-
drücke der Form
$\ a+b* [mm] \wurzel{5^i*7^k}$ [/mm] mit $\ [mm] a,b\in\IQ$ [/mm] und $\ [mm] i,k\in\IZ$
[/mm]
sind formal als Ausdrücke der Form
$\ p+q*t$ mit $\ [mm] p,q\in\IQ$
[/mm]
eindeutig definiert, und das Rechnen mit ihnen gehorcht
den Körperaxiomen. Je nachdem, welche der 4 reellen
Nullstellen des Minimalpolynoms (in [mm] \IR [/mm] betrachtet) wir
ursprünglich mit "t" bezeichnet haben, ergeben sich
aber unterschiedliche Einbettungen des zunächst
abstrakt definierten Körpers [mm] \IQ(t) [/mm] in die reellen Zahlen.
Nach unserer gewohnten Betrachtungsweise kann
natürlich nur eine dieser Einbettungen "richtig"
(und insbesondere ordnungserhaltend) sein.
Vielleicht ist dies aber ein Trugschluss. Wenigstens
für rein algebraische Zwecke (ohne geometrische
Betrachtungen und insbesondere ohne Grenzwerte !)
könnte man wohl damit leben, dass z.B. Quadrat-
wurzeln aus Primzahlen negativ wären. Es wäre
wohl auch möglich, für jede der Einbettungen
eine passende Ordnungsrelation einzuführen, die
alles wieder ins Lot brächte...
Aber nur so nebenbei: Ich möchte eine solche
Reformation oder Revolution der Algebra nicht
gerade propagieren, insbesondere um die Schüler-
und Lehrer-Innen nicht schon wieder dermassen
zu stressen ... 
Was meinst Du (und andere Interessierte) dazu ?
Während des Schreibens ist mir aufgegangen,
welches die richtige Anlaufstelle für Fragen dieser
Art sein müsste: ![[]](/images/popup.gif) Galois !
Lieben Gruß !
Al-Chwarizmi
Dazu noch eine
| Aufgabe | Es sei [mm] t=\wurzel{5}+\wurzel{7} [/mm] .
Gesucht sind rationale Zahlen x und y so, dass [mm] x+y*t=1+3*\wurzel{5}-2*\wurzel{7} [/mm] |
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Di 03.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Al,
> > Das stimmt, allerdings willst du ja schliesslich von
> > [mm]\sqrt{5}[/mm] bzw. [mm]\sqrt{7}[/mm] sprechen, und dazu brauchst du diese
> > beiden Objekte irgendwoher. Man kann natuerlich zeigen,
> > dass das konstruierte Element zum Quadrat gleich 5 bzw. 7
> > ist, womit man das dann eigentlich hat -- halt bis auf's
> > Vorzeichen. Aber schoener ist es, sich im Voraus darauf
> > festzulegen, welches Element [mm]\sqrt{5}[/mm] und welches [mm]\sqrt{7}[/mm]
> > ist, damit man keine Probleme mit den Vorzeichen bekommt.
>
>
> Diese Gefahr der "Verwechslung" besteht wohl nicht.
> Oder vielleicht sollte ich es anders sagen: die mög-
> lichen Vertauschungen liegen in der Natur der Sache.
Ja, das stimmt. Allerdings wollte ich auf folgendes hinaus: in der Aufgabe waren zuerst [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{7}$ [/mm] festgelegt, und aus diesen wurde $t$ gebastelt. Du machst es umgekehrt: du bastelst aus $t$ jeweils die Objekte [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{7}$.
[/mm]
> Ich definiere einmal: t sei eine (beliebige, aber dann
> einfach durch die Bezeichnung t "ausgezeichnete")
> Lösung der Gleichung [mm]t^4-24t^2+4=0.[/mm] Dann setze ich
>
> [mm]v:=\bruch{t}{2}-\bruch{1}{t}[/mm] und
> [mm]w:=\bruch{t}{2}+\bruch{1}{t}[/mm]
>
> und weise durch Anwendung der Gleichung nach, dass
>
> [mm]v^2=5[/mm] und [mm]w^2=7[/mm] sein muss.
>
> Dann setze ich weiter einfach
>
> [mm]\wurzel{5}:=v=\bruch{t}{2}-\bruch{1}{t}[/mm] und
> [mm]\wurzel{7}:=w=\bruch{t}{2}+\bruch{1}{t}[/mm]
Genau, das kann man so machen. Aber eigentlich wird $t$ ja durch diese beiden Ausdruecke beschrieben :)
> Es stünde mir frei, stattdessen z.B.
> [mm]\wurzel{5}:=-\bruch{t}{2}+\bruch{1}{t}[/mm] zu
> definieren und dazu die Definition von w stehen zu
> lassen. Effektiv können wir die gewohnten Rollen
> der 4 reellen Zahlen
>
> [mm]\wurzel{5}\ \,,\, -\wurzel{5}\ \,,\,\wurzel{7}\ \,,\, -\wurzel{7}[/mm]
>
> auf vielfältige Art permutieren. Sobald wir die zunächst
> etwas willkürlichen Definitionen gesetzt haben, ist die
> formale Algebra in [mm]E=\IQ(t)[/mm] festgelegt, und alle Aus-
> drücke der Form
>
> [mm]\ a+b* \wurzel{5^i*7^k}[/mm] mit [mm]\ a,b\in\IQ[/mm] und [mm]\ i,k\in\IZ[/mm]
>
> sind formal als Ausdrücke der Form
>
> [mm]\ p+q*t[/mm] mit [mm]\ p,q\in\IQ[/mm]
>
> eindeutig definiert,
Vorsicht, das stimmt so nicht ganz. Da die Koerpererweiterung von Grad 4 ist (also ein 4-dimensionaler [mm] $\IQ$-Vektorraum), [/mm] benoetigt man vier rationale Koeffizienten und nicht zwei. Genauer: [mm] $\IQ(t)$ [/mm] sind alle Elemente der Form $a + b t + c [mm] t^2 [/mm] + d [mm] t^3$ [/mm] mit $a, b, c, d [mm] \in \IQ$ [/mm] (und diese Darstellung ist eindeutig).
Und bei [mm] $\sqrt{5^i 7^k}$ [/mm] braucht man die Elemente $a + b [mm] \sqrt{5} [/mm] + c [mm] \sqrt{7} [/mm] + d [mm] \sqrt{5 \cdot 7}$ [/mm] um alles darstellen zu koennen (wieder $a, b, c, d [mm] \in \IQ$); [/mm] etwa kann man [mm] $\sqrt{5^1 \cdot 7^0}) [/mm] + [mm] \sqrt{5^0 \cdot 7^1}$ [/mm] nicht in der Form $a + b [mm] \sqrt{5^i 7^j}$ [/mm] mit $i, j [mm] \in \IZ$ [/mm] darstellen.
> und das Rechnen mit ihnen gehorcht
> den Körperaxiomen. Je nachdem, welche der 4 reellen
> Nullstellen des Minimalpolynoms (in [mm]\IR[/mm] betrachtet) wir
> ursprünglich mit "t" bezeichnet haben, ergeben sich
> aber unterschiedliche Einbettungen des zunächst
> abstrakt definierten Körpers [mm]\IQ(t)[/mm] in die reellen Zahlen.
> Nach unserer gewohnten Betrachtungsweise kann
> natürlich nur eine dieser Einbettungen "richtig"
> (und insbesondere ordnungserhaltend) sein.
Nunja, wir benutzen nicht-algebraische Methoden um [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] festzulegen, und um es von [mm] $-\sqrt{5}$ [/mm] zu unterscheiden. Rein algebraisch kann man sie nicht unterscheiden:
> Vielleicht ist dies aber ein Trugschluss. Wenigstens
> für rein algebraische Zwecke (ohne geometrische
> Betrachtungen und insbesondere ohne Grenzwerte !)
> könnte man wohl damit leben, dass z.B. Quadrat-
> wurzeln aus Primzahlen negativ wären. Es wäre
> wohl auch möglich, für jede der Einbettungen
> eine passende Ordnungsrelation einzuführen, die
> alles wieder ins Lot brächte...
Es ist halt immer die Frage was man haben moechte :) Da man gerne (in [mm] $\IR$) [/mm] die Quadratwurzel einer Quadratwurzel ziehen moechte (in Hinblick auf Potenzgesetze) ohne nach [mm] $\IC$ [/mm] ausweichen zu muessen, bietet es sich halt an die Quadratwurzel einer positiven Zahl wieder positiv zu waehlen.
> Aber nur so nebenbei: Ich möchte eine solche
> Reformation oder Revolution der Algebra nicht
> gerade propagieren, insbesondere um die Schüler-
> und Lehrer-Innen nicht schon wieder dermassen
> zu stressen ...
>
> Was meinst Du (und andere Interessierte) dazu ?
>
> Während des Schreibens ist mir aufgegangen,
> welches die richtige Anlaufstelle für Fragen dieser
> Art sein müsste:
> Galois !
Ja, das ist auch die richtige Anlaufstelle.
*such*
Ich habe mal vor langer Zeit dies hier gelesen, ich denke es ist eine sehr gute Antwort.
> Dazu noch eine
>
> Es sei [mm]t=\wurzel{5}+\wurzel{7}[/mm] .
> Gesucht sind rationale Zahlen x und y so, dass
> [mm]x+y*t=1+3*\wurzel{5}-2*\wurzel{7}[/mm]
Wie schon oben gesagt: man benoetigt eventuell auch [mm] $t^2$ [/mm] und [mm] $t^3$ [/mm] :)
LG Felix
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Guten Abend !
> Hallo Al,
>
> > > Das stimmt, allerdings willst du ja schliesslich von
> > > [mm]\sqrt{5}[/mm] bzw. [mm]\sqrt{7}[/mm] sprechen, und dazu brauchst du diese
> > > beiden Objekte irgendwoher. Man kann natuerlich zeigen,
> > > dass das konstruierte Element zum Quadrat gleich 5 bzw. 7
> > > ist, womit man das dann eigentlich hat -- halt bis auf's
> > > Vorzeichen. Aber schoener ist es, sich im Voraus darauf
> > > festzulegen, welches Element [mm]\sqrt{5}[/mm] und welches [mm]\sqrt{7}[/mm]
> > > ist, damit man keine Probleme mit den Vorzeichen bekommt.
> >
> >
> > Diese Gefahr der "Verwechslung" besteht wohl nicht.
> > Oder vielleicht sollte ich es anders sagen: die mög-
> > lichen Vertauschungen liegen in der Natur der Sache.
>
> Ja, das stimmt. Allerdings wollte ich auf folgendes hinaus:
> in der Aufgabe waren zuerst [mm]\sqrt{5}[/mm] und [mm]\sqrt{7}[/mm]
> festgelegt, und aus diesen wurde [mm]t[/mm] gebastelt.
Nein; eigentlich war zuerst vom Erweiterungskörper
[mm] E=\IQ(t) [/mm] die Rede und man sollte z.B. nachweisen, dass
z.B. [mm] \wurzel{5}\in [/mm] E ist.
> Du machst es
> umgekehrt: du bastelst aus [mm]t[/mm] jeweils die Objekte [mm]\sqrt{5}[/mm]
> und [mm]\sqrt{7}[/mm].
Ja; und ich meine, das kann ich auch, ohne mich auf
die üblichen Werte von [mm] \wurzel{5} [/mm] und [mm] \wurzel{7} [/mm] aus [mm] \IR
[/mm]
zu berufen ! Für mich ist t einfach ein abstraktes Objekt
mit der Eigenschaft, dass es die Gleichung [mm]t^4-24t^2+4=0[/mm] erfüllt.
Vom Standpunkt eines Betrachters in [mm] \IR [/mm] gesehen, kann
t eine der vier Zahlen [mm] \pm\wurzel{5}\pm\wurzel{7} [/mm] sein.
Ich möchte mich aber ganz von dieser Betrachtungsweise
lösen und t zunächst einfach als ein Symbol nehmen,
das mit rationalen Zahlen durch die Grundoperationen
verknüpft werden kann.
> > Ich definiere einmal: t sei eine (beliebige, aber dann
> > einfach durch die Bezeichnung t "ausgezeichnete")
> > Lösung der Gleichung [mm]t^4-24t^2+4=0.[/mm] Dann setze ich
> >
> > [mm]v:=\bruch{t}{2}-\bruch{1}{t}[/mm] und
> > [mm]w:=\bruch{t}{2}+\bruch{1}{t}[/mm]
> >
> > und weise durch Anwendung der Gleichung nach, dass
> >
> > [mm]v^2=5[/mm] und [mm]w^2=7[/mm] sein muss.
> >
> > Dann setze ich weiter einfach
> >
> > [mm]\wurzel{5}:=v=\bruch{t}{2}-\bruch{1}{t}[/mm] und
> > [mm]\wurzel{7}:=w=\bruch{t}{2}+\bruch{1}{t}[/mm]
>
> Genau, das kann man so machen. Aber eigentlich wird [mm]t[/mm] ja
> durch diese beiden Ausdruecke beschrieben.
Nein, bei meiner Betrachtung eben nicht. Ich definiere
die Wurzeln so wie es mir passt. Ich stütze mich nicht
mehr auf die üblichen Definitionen der Wurzeln in [mm] \IR.
[/mm]
Es steht mir beispielsweise frei, für "meine" Wurzel aus 5
im reellen Modell zum Beispiel die reelle Zahl -2.64575....
zu nehmen, die in der "normalen" Algebra mit [mm] -\wurzel{7} [/mm]
bezeichnet würde.
>
> > Es stünde mir frei, stattdessen z.B.
> > [mm]\wurzel{5}:=-\bruch{t}{2}+\bruch{1}{t}[/mm] zu
> > definieren und dazu die Definition von w stehen zu
> > lassen. Effektiv können wir die gewohnten Rollen
> > der 4 reellen Zahlen
> >
> > [mm]\wurzel{5}\ \,,\, -\wurzel{5}\ \,,\,\wurzel{7}\ \,,\, -\wurzel{7}[/mm]
> >
> > auf vielfältige Art permutieren. Sobald wir die zunächst
> > etwas willkürlichen Definitionen gesetzt haben, ist die
> > formale Algebra in [mm]E=\IQ(t)[/mm] festgelegt, und alle Aus-
> > drücke der Form
> >
> > [mm]\ a+b* \wurzel{5^i*7^k}[/mm] mit [mm]\ a,b\in\IQ[/mm] und [mm]\ i,k\in\IZ[/mm]
>
> > sind formal als Ausdrücke der Form
> >
> > [mm]\ p+q*t[/mm] mit [mm]\ p,q\in\IQ[/mm]
> >
> > eindeutig definiert,
>
> Vorsicht, das stimmt so nicht ganz. Da die
> Koerpererweiterung von Grad 4 ist (also ein 4-dimensionaler
> [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum), benoetigt man vier rationale Koeffizienten
> und nicht zwei. Genauer: [mm]\IQ(t)[/mm] sind alle Elemente der Form
> [mm]a + b t + c t^2 + d t^3[/mm] mit [mm]a, b, c, d \in \IQ[/mm] (und diese
> Darstellung ist eindeutig).
Da hast du Recht ! Ich habe mir erst klar gemacht,
dass ich mit Ausdrücken der Form [mm]\ p+q*t[/mm] nicht alle
Elemente von E darstellen kann.
> Und bei [mm]\sqrt{5^i 7^k}[/mm] braucht man die Elemente [mm]a + b \sqrt{5} + c \sqrt{7} + d \sqrt{5 \cdot 7}[/mm]
> um alles darstellen zu koennen (wieder [mm]a, b, c, d \in \IQ[/mm]);
> etwa kann man [mm]\sqrt{5^1 \cdot 7^0}) + \sqrt{5^0 \cdot 7^1}[/mm]
> nicht in der Form [mm]a + b \sqrt{5^i 7^j}[/mm] mit [mm]i, j \in \IZ[/mm]
> darstellen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > und das Rechnen mit ihnen gehorcht
> > den Körperaxiomen. Je nachdem, welche der 4 reellen
> > Nullstellen des Minimalpolynoms (in [mm]\IR[/mm] betrachtet) wir
> > ursprünglich mit "t" bezeichnet haben, ergeben sich
> > aber unterschiedliche Einbettungen des zunächst
> > abstrakt definierten Körpers [mm]\IQ(t)[/mm] in die reellen Zahlen.
> > Nach unserer gewohnten Betrachtungsweise kann
> > natürlich nur eine dieser Einbettungen "richtig"
> > (und insbesondere ordnungserhaltend) sein.
>
> Nunja, wir benutzen nicht-algebraische Methoden um [mm]\sqrt{5}[/mm]
> festzulegen, und um es von [mm]-\sqrt{5}[/mm] zu unterscheiden. Rein
> algebraisch kann man sie nicht unterscheiden:
Die imaginäre Einheit i und die Zahl -i kann man nicht
einmal mit anderen Methoden unterscheiden, ausser mit
typographischen: die eine der Lösungen der Gleichung
[mm] z^2=-1 [/mm] heisst einfach i, egal welche! Dann muss die
andere einfach mit dem vorgestellten Minuszeichen
vorlieb nehmen. Um allfällige Rivalitätsgefühle unter
den beiden abstrakten (aber in der Mathematik doch
sehr prominenten) Objekten abzumildern, wäre vielleicht
ein Entschluss der intergalaktischen Mathematischen
Gesellschaft fällig, der einen Modus festlegen würde, in
welcher Weise die beiden Zahlen sich in den Rollen von
"i" und "-i" abwechseln sollten, natürlich so, dass bei der
intra- und intergalaktischen Kommunikation keinerlei
Widersprüche auftreten können.
> > Vielleicht ist dies aber ein Trugschluss. Wenigstens
> > für rein algebraische Zwecke (ohne geometrische
> > Betrachtungen und insbesondere ohne Grenzwerte !)
> > könnte man wohl damit leben, dass z.B. Quadrat-
> > wurzeln aus Primzahlen negativ wären. Es wäre
> > wohl auch möglich, für jede der Einbettungen
> > eine passende Ordnungsrelation einzuführen, die
> > alles wieder ins Lot brächte...
>
> Es ist halt immer die Frage was man haben moechte :) Da man
> gerne (in [mm]\IR[/mm]) die Quadratwurzel einer Quadratwurzel ziehen
> moechte (in Hinblick auf Potenzgesetze) ohne nach [mm]\IC[/mm]
> ausweichen zu muessen, bietet es sich halt an die
> Quadratwurzel einer positiven Zahl wieder positiv zu
> waehlen.
>
> > Aber nur so nebenbei: Ich möchte eine solche
> > Reformation oder Revolution der Algebra nicht
> > gerade propagieren, insbesondere um die Schüler-
> > und Lehrer-Innen nicht schon wieder dermassen
> > zu stressen ...
> >
> > Was meinst Du (und andere Interessierte) dazu ?
> >
> > Während des Schreibens ist mir aufgegangen,
> > welches die richtige Anlaufstelle für Fragen dieser
> > Art sein müsste:
> > Galois !
>
> Ja, das ist auch die richtige Anlaufstelle.
>
> *such*
>
> Ich habe mal vor langer Zeit
> dies hier
> gelesen, ich denke es ist eine sehr gute Antwort.
>
> > Dazu noch eine
| Aufgabe 1 | Es sei [mm]t=\wurzel{5}+\wurzel{7}[/mm] .
Gesucht sind rationale Zahlen x und y so, dass [mm]x+y*t=1+3*\wurzel{5}-2*\wurzel{7}[/mm] |
>
> Wie schon oben gesagt: man benoetigt eventuell auch [mm]t^2[/mm] und
> [mm]t^3[/mm] :)
Ja. Ich nehme mittlerweilen auch an, dass diese Aufgabe
wohl keine Lösung hat. Für Leute, die immer noch daran
interessiert sind, sollte man sie wohl also folgendermassen
formulieren:
| Aufgabe 2 | Es sei [mm]t=\wurzel{5}+\wurzel{7}[/mm] .
Zeige, dass die Gleichung
[mm]x+y*t=1+3*\wurzel{5}-2*\wurzel{7}[/mm]
mit rationalen Zahlen x und y nicht lösbar ist. |
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Mi 04.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Al
> > > Diese Gefahr der "Verwechslung" besteht wohl nicht.
> > > Oder vielleicht sollte ich es anders sagen: die
> mög-
> > > lichen Vertauschungen liegen in der Natur der
> Sache.
> >
> > Ja, das stimmt. Allerdings wollte ich auf folgendes hinaus:
> > in der Aufgabe waren zuerst [mm]\sqrt{5}[/mm] und [mm]\sqrt{7}[/mm]
> > festgelegt, und aus diesen wurde [mm]t[/mm] gebastelt.
>
> Nein; eigentlich war zuerst vom Erweiterungskörper
> [mm]E=\IQ(t)[/mm] die Rede und man sollte z.B. nachweisen, dass
> z.B. [mm]\wurzel{5}\in[/mm] E ist.
Nicht ganz Es war zu erst von $t = [mm] \sqrt{5} [/mm] + [mm] \sqrt{7}$ [/mm] die Rede. Dies setzt voraus, das man [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{7}$ [/mm] schon kennt. Dann wurde der Unterkoerper [mm] $\IQ(t)$ [/mm] betrachtet, der in dem Koerper der [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{7}$ [/mm] enthaelt drinnen liegt.
> > Du machst es
> > umgekehrt: du bastelst aus [mm]t[/mm] jeweils die Objekte [mm]\sqrt{5}[/mm]
> > und [mm]\sqrt{7}[/mm].
>
> Ja; und ich meine, das kann ich auch, ohne mich auf
> die üblichen Werte von [mm]\wurzel{5}[/mm] und [mm]\wurzel{7}[/mm] aus [mm]\IR[/mm]
> zu berufen !
Ja. (Du solltest vielleicht noch zeigen, dass dein definierendes Polynom irreduzibel ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist.)
> Für mich ist t einfach ein abstraktes Objekt
> mit der Eigenschaft, dass es die Gleichung [mm]t^4-24t^2+4=0[/mm]
> erfüllt.
> Vom Standpunkt eines Betrachters in [mm]\IR[/mm] gesehen, kann
> t eine der vier Zahlen [mm]\pm\wurzel{5}\pm\wurzel{7}[/mm] sein.
> Ich möchte mich aber ganz von dieser Betrachtungsweise
> lösen und t zunächst einfach als ein Symbol nehmen,
> das mit rationalen Zahlen durch die Grundoperationen
> verknüpft werden kann.
Ja.
> > > Ich definiere einmal: t sei eine (beliebige, aber dann
> > > einfach durch die Bezeichnung t "ausgezeichnete")
> > > Lösung der Gleichung [mm]t^4-24t^2+4=0.[/mm] Dann setze ich
> > >
> > > [mm]v:=\bruch{t}{2}-\bruch{1}{t}[/mm] und
> > > [mm]w:=\bruch{t}{2}+\bruch{1}{t}[/mm]
> > >
> > > und weise durch Anwendung der Gleichung nach, dass
> > >
> > > [mm]v^2=5[/mm] und [mm]w^2=7[/mm] sein muss.
> > >
> > > Dann setze ich weiter einfach
> > >
> > > [mm]\wurzel{5}:=v=\bruch{t}{2}-\bruch{1}{t}[/mm] und
> > > [mm]\wurzel{7}:=w=\bruch{t}{2}+\bruch{1}{t}[/mm]
> >
> > Genau, das kann man so machen. Aber eigentlich wird [mm]t[/mm] ja
> > durch diese beiden Ausdruecke beschrieben.
>
> Nein, bei meiner Betrachtung eben nicht. Ich definiere
> die Wurzeln so wie es mir passt. Ich stütze mich nicht
> mehr auf die üblichen Definitionen der Wurzeln in [mm]\IR.[/mm]
> Es steht mir beispielsweise frei, für "meine" Wurzel aus 5
> im reellen Modell zum Beispiel die reelle Zahl -2.64575....
> zu nehmen, die in der "normalen" Algebra mit [mm]-\wurzel{7}[/mm]
> bezeichnet würde.
Wenn du es so siehst, ok. Dann musst du aber ganz genau aufpassen, wie du die Aufgabe formulierst.
> Ja. Ich nehme mittlerweilen auch an, dass diese Aufgabe
> wohl keine Lösung hat. Für Leute, die immer noch daran
> interessiert sind, sollte man sie wohl also
> folgendermassen
> formulieren:
>
> Es sei [mm]t=\wurzel{5}+\wurzel{7}[/mm] .
>
> Zeige, dass die Gleichung
>
> [mm]x+y*t=1+3*\wurzel{5}-2*\wurzel{7}[/mm]
>
> mit rationalen Zahlen x und y nicht lösbar ist.
Dies folgt direkt daraus, dass $1$, [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{7}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] linear unabhaengig sind  Wenn sie es nicht waeren, so wuerde [mm] $\sqrt{5} \in \IQ(\sqrt{7})$ [/mm] oder [mm] $\sqrt{7} \in \IQ(\sqrt{5})$ [/mm] gelten, und beides kann man leicht zum Widerspruch fuehren.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:15 Mi 04.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Felix, hallo Al,
interessante Diskussion - ich habe sie erst vorhin entdeckt.
Irgendwo im Hinterkopf habe ich noch Material dazu, aber ich finde es nicht. Vielleicht wäre es auch gar nicht hilfreich.
Eine Frage habe ich trotzdem: [mm] \IQ(\wurzel{5}) [/mm] und Anverwandte - das bezieht sich ja offenbar und sinnvollerweise auf alles, das als [mm] a\wurzel{5} [/mm] mit [mm] a\in\IQ [/mm] dargestellt werden kann. Bis dahin ist das einsichtig.
Die eigentliche Frage ist daher diese: impliziert die Schreibweise noch etwas anderes, z.B. Eigenschaften einer (womöglich abelschen) Gruppe, eines Körpers, eines Rings...?
Normalerweise finde ich Antworten im Handapparat oder per Suchmaschine; hier war ich erfolglos.
Liebe Grüße,
reverend
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> Hallo Felix, hallo Al,
>
> interessante Diskussion - ich habe sie erst vorhin
> entdeckt.
> Irgendwo im Hinterkopf habe ich noch Material dazu, aber
> ich finde es nicht. Vielleicht wäre es auch gar nicht
> hilfreich.
>
> Eine Frage habe ich trotzdem: [mm]\IQ(\wurzel{5})[/mm] und
> Anverwandte - das bezieht sich ja offenbar und
> sinnvollerweise auf alles, das als [mm]a\wurzel{5}[/mm] mit [mm]a\in\IQ[/mm]
> dargestellt werden kann.
In diesem Fall eigentlich: [mm] $\IQ(\wurzel{5})\ [/mm] =\ [mm] \{a+b*\wurzel{5}\ |\ a,b\in\IQ\}$ [/mm]
> Bis dahin ist das einsichtig.
>
> Die eigentliche Frage ist daher diese: impliziert die
> Schreibweise noch etwas anderes, z.B. Eigenschaften einer
> (womöglich abelschen) Gruppe, eines Körpers, eines
> Rings...?
Hallo reverend,
Gemeint ist hier der abgeschlossene Körper nach Adjunktion
eines zusätzlichen Elements, das nicht zum ursprünglichen
Körper gehört.
Mit [mm] \IQ(\wurzel{5}) [/mm] ist zum Beispiel der Körper gemeint,
der entsteht, wenn man zu [mm] \IQ [/mm] noch ein Element $\ v$ dazu-
nimmt, das der Gleichung $\ [mm] v^2=5$ [/mm] genügen soll. Dann darf
man beliebige Körperoperationen mit rationalen Zahlen
und $\ v$ ausführen. Alle so darstellbaren Ausdrücke sollen
zur erweiterten Menge gehören. Man kann jedoch in diesem
Fall zeigen, dass sich alle solchen Ausdrücke mittels der
Gleichung [mm] v^2=5 [/mm] auf die Form $\ a+b*v$ mit [mm] a,b\in\IR [/mm] reduzieren
lassen, und dass diese erweiterte Menge wieder ein
Körper ist. Da die Gleichung [mm] v^2=5 [/mm] im üblichen Zahlen-
bereich [mm] \IR [/mm] zwei Lösungen hat, gibt es zwei Möglichkeiten,
den neu konstruierten Zahlenbereich "natürlich" in [mm] \IR
[/mm]
einzubetten. Die rationalen Zahlen lassen wir in Ruhe
(das meine ich mit "natürlicher" Einbettung"). Bei dem
neu konstruierten abstrakten Objekt $\ v$ haben wir aber die
Wahl, ob wir es mit der positiven oder mit der negativen
Lösung der charakterisierenden Gleichung [mm] v^2=5 [/mm] (als
Gleichung in [mm] \IR [/mm] betrachtet) identifizieren wollen.
Im Fall [mm] \IQ(t) [/mm] mit [mm] t=\wurzel{7}+\wurzel{5} [/mm] kommt man für $\ t$ auf die
Gleichung
$\ [mm] t^4-24*t^2+4=0$
[/mm]
Dieses Polynom kleinsten Grades mit der vorgegebenen
Nullstelle nennt man auch das entsprechende "Minimal-
polynom". Dieses Polynom hat nicht nur zwei, sondern
vier Nullstellen in [mm] \IR:
[/mm]
$\ [mm] t_1\,=\ \wurzel{7}+\,\wurzel{5}\ ,\quad t_2\,=\ \wurzel{7}-\,\wurzel{5}\ ,\quad t_3\,=\ -\wurzel{7}+\,\wurzel{5}\ ,\quad t_4\,=\ -\wurzel{7}-\,\wurzel{5}$ [/mm]
Sie alle sind in gewissem Sinne gleichberechtigt bzw.
austauschbar, was die algebraischen Eigenschaften des
entstehenden Erweiterungskörpers [mm] \IQ(t) [/mm] betrifft.
Lieben Gruß Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:52 Mi 04.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
danke für die Erklärung!
Grüße,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 12.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 04.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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