Q abzählbar < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Di 05.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
In einem Prüfungsprotokoll ist die Frage:
Warum ist [mm] \mathbb Q [/mm] abzählbar?
Meine Antwort dazu wäre ein Satz , welchen ich anwenden würde.
Leider verstehe ich bei diesem Satz den Beweis nicht vollkommen und unter anderem ist wohl die vom Professor erwünschte Antwort eine andere, zu der ich ebenfalls Fragen hätte.
So, meine Antwort:
Satz :
Seien [mm] X_1, X_2, X_3, ... [/mm] endliche oder abzählbare Teilmenegen einer Menge Z. Dann ist
[mm] X: = \bigcup_{k=1}^{ \infty } X_k [/mm] endlich oder abzählbar.
Beweis :
Da [mm] X_1 [/mm] endlich oder abzählbar ist, gibt es eine Folge [mm] ( x_{1,n} )_n [/mm] in Z deren Bild auch in [mm] X_1 [/mm] ist.
[mm] X_1 = \{ x_{11} , x_{12}, x_{13}, ... \} [/mm] Ebenso
[mm] X_2 = \{ x_{21} , x_{22}, x_{23}, ... \} [/mm]
[mm] X_3 = \{ x_{31} , x_{32}, x_{33}, ... \} [/mm]
Also ist [mm] X = \{ x_{11} , x_{12}, x_{21}, x_{13} , x_{22}, x_{31}, x_{14} ... \} [/mm]
endlich oder abzählbar .
Meine Frage hierzu ist die folgende:
Wurde denn hier eine surjektive Abbildung von [mm] \mathbb N [/mm] nach X konstruiert?
Denn wenn ja, dann würde doch, wenn ich mich nicht täusche der Sachverhalt verwendet, dass eine Menge genau dann endlich oder anzählbar ist, wenn es eine surjektive Abbildung von den natürlichen Zahlen auf die Menge gibt ?
Liege ich da richtig?
Und auf die Frage, warum [mm] \mathbb Q [/mm] abzählbar ist, würde ich so antworten:
Für [mm] k \in \mathbb N [/mm] sei
[mm] X_k := \{ \bruch{a}{k} \ | \ a \in \mathbb Z \} \subseteq \mathbb Q [/mm]
Dann ist [mm] \mathbb Q = X_1 \cup X_2 \cup X_3 ... [/mm]
Jedes [mm] X_k [/mm] ist abzählbar und nach dem obigen Satz somit auch
[mm] \mathbb Q [/mm].
Wäre das richtig?
Der Professor wollte wohl auf das "Cantorische Diagonalisierungsverfahren" hinaus. Leider habe ich davon noch nie was gehört:-( Das ist nicht zufällig diese Anordnung, die in dem Beweis verwendet wurde?
Und warum würde denn dieses Verfahren die Abzählbarkeit von Q erklären?
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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> Hallo alle zusammen!
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> In einem Prüfungsprotokoll ist die Frage:
>
> Warum ist [mm]\mathbb Q[/mm] abzählbar?
>
> Meine Antwort dazu wäre ein Satz , welchen ich anwenden
> würde.
> Leider verstehe ich bei diesem Satz den Beweis nicht
> vollkommen und unter anderem ist wohl die vom Professor
> erwünschte Antwort eine andere, zu der ich ebenfalls Fragen
> hätte.
>
> So, meine Antwort:
>
> Satz :
>
> Seien [mm]X_1, X_2, X_3, ...[/mm] endliche oder abzählbare
> Teilmenegen einer Menge Z. Dann ist
>
> [mm]X: = \bigcup_{k=1}^{ \infty } X_k[/mm] endlich oder abzählbar.
>
> Beweis :
>
> Da [mm]X_1[/mm] endlich oder abzählbar ist, gibt es eine Folge [mm]( x_{1,n} )_n[/mm]
> in Z deren Bild auch in [mm]X_1[/mm] ist.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") "Bild in [mm] $X_1$" [/mm] oder nicht eher "Bild gleich [mm] $X_1$"??
[/mm]
>
> [mm]X_1 = \{ x_{11} , x_{12}, x_{13}, ... \}[/mm] Ebenso
>
> [mm]X_2 = \{ x_{21} , x_{22}, x_{23}, ... \}[/mm]
>
> [mm]X_3 = \{ x_{31} , x_{32}, x_{33}, ... \}[/mm]
>
> Also ist [mm]X = \{ x_{11} , x_{12}, x_{21}, x_{13} , x_{22}, x_{31}, x_{14} ... \}[/mm]
>
> endlich oder abzählbar .
>
> Meine Frage hierzu ist die folgende:
>
> Wurde denn hier eine surjektive Abbildung von [mm]\mathbb N[/mm]
> nach X konstruiert?
Ich denke auch, dass dies die Idee ist. Nur muss man verlangen, dass die Folgen [mm] $(x_{kn})_{n\in\IN}$ [/mm] alle Elemente von [mm] $X_k$ [/mm] durchlaufen, d.h. surjektive Abbildungen [mm] $\IN\rightarrow X_k$ [/mm] sind.
> Denn wenn ja, dann würde doch, wenn ich mich nicht täusche
> der Sachverhalt verwendet, dass eine Menge genau dann
> endlich oder anzählbar ist, wenn es eine surjektive
> Abbildung von den natürlichen Zahlen auf die Menge gibt ?
> Liege ich da richtig?
Ich denke ja - und ich hofffe, dass dies vorausgesetzt werden darf.
>
>
> Und auf die Frage, warum [mm]\mathbb Q[/mm] abzählbar ist, würde ich
> so antworten:
>
> Für [mm]k \in \mathbb N[/mm] sei
> [mm]X_k := \{ \bruch{a}{k} \ | \ a \in \mathbb Z \} \subseteq \mathbb Q[/mm]
>
> Dann ist [mm]\mathbb Q = X_1 \cup X_2 \cup X_3 ...[/mm]
> Jedes [mm]X_k[/mm]
> ist abzählbar und nach dem obigen Satz somit auch
> [mm]\mathbb Q [/mm].
>
> Wäre das richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
> Der Professor wollte wohl auf das "Cantorische
> Diagonalisierungsverfahren" hinaus. Leider habe ich davon
> noch nie was gehört:-( Das ist nicht zufällig diese
> Anordnung, die in dem Beweis verwendet wurde?
> Und warum würde denn dieses Verfahren die Abzählbarkeit
> von Q erklären?
Die surjektive Abbildung, die hier konstruiert werden soll, konstruiert man eben in zwei Schritten. Erster Schritt: [mm] $\IN\rightarrow \IN\times \IN$ [/mm] (bijektiv: dies ist das Cantorsche Diagonalverfahren). Zweiter Schritt: die durch diese erste Teilabbildung erhaltenen Indexpaare $(k,n)$ verwendet man dann, um die Zahlen [mm] $x_{kn}$ [/mm] zu indizieren. Dies liefert insgesamt, nach Voraussetzung über diese Zahlenfolgen, eine surjektive Abbildung von [mm] $\IN$ [/mm] auf [mm] $\bigcup_{k=1}^\infty X_k$.
[/mm]
Apropos ![[]](/images/popup.gif) Cantorsches Diagonalverfahren: es geht einfach darum, [mm] $\IN$ [/mm] bijektiv auf die Elemente von [mm] $\IN\times \IN$ [/mm] abzubilden. Wenn man sich die Elemente von [mm] $\IN\times \IN$ [/mm] in einer "unendlichen Matrix" angeordnet denkt, ist die Existenz einer solchen bijektiven Abbildung wohl unmittelbar einleuchtend. Sie effektiv anzugeben, ist dann halt eine Tüftelei.
Nachtrag (1. Revision): Anstelle einer Tüftelei kann man sich auch mit folgendem Argument der Existenz einer bijektiven Abbildung von [mm] $\IN$ [/mm] auf [mm] $\IN\times\IN$ [/mm] versichern: Die Menge $M:= [mm] \{2^k 3^n\;\mid\; k,n\in\IN\}\subset \IN$ [/mm] ist abzählbar unendlich und es gibt eine offensichtliche Bijektion [mm] $2^k 3^n\mapsto [/mm] (k,n)$ von $M$ auf [mm] $\IN\times \IN$. [/mm] Da $M$ abzählbar unendlich ist, gibt es auch eine bijektive Abbildung von [mm] $\IN$ [/mm] auf $M$. Zusammengesetzt ergeben diese beiden Abbildungen die gewünschte bijektive Abbildung [mm] $\IN\rightarrow \IN\times \IN$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Di 05.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ich habe eine ungefähre Vostellung nun gewonnen.
Wenn ich das richtig sehe, dann kann ich doch auch bei Q folgendermaßen argumentieren:
Da [mm] \mathbb Q [/mm] und [mm] \mathbb N [/mm] die die gleiche kardinalzahl habe, gibt es eine Bijektion zwischen den beiden und somit ist [mm] \mathbb Q [/mm] abzählbar.
Richtig?
Bei [mm] \mathbb R [/mm] ist das anders. [mm] \mathbb R [/mm] ist ja überabzählbar, also gibt es keine Bijektion ... Und außerdem hat [mm] \mathbb R [/mm] eine höhere Kardinalzahl..
Aber wie kann man denn sonst erklären, dass [mm] \mathbb R [/mm] nicht abzählbar ist?
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Di 05.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo!
>
> Ich habe eine ungefähre Vostellung nun gewonnen.
> Wenn ich das richtig sehe, dann kann ich doch auch bei Q
> folgendermaßen argumentieren:
>
> Da [mm]\mathbb Q[/mm] und [mm]\mathbb N[/mm] die die gleiche kardinalzahl
> habe, gibt es eine Bijektion zwischen den beiden und somit
> ist [mm]\mathbb Q[/mm] abzählbar.
> Richtig?
Anders rum: Weil es eine Bijektion zwischen den beiden gibt, haben sie die gleiche Kardinalität (womit dann [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist, weil es [mm] \IN [/mm] [per Definition] ist).
>
> Bei [mm]\mathbb R[/mm] ist das anders. [mm]\mathbb R[/mm] ist ja
> überabzählbar, also gibt es keine Bijektion ... Und
> außerdem hat [mm]\mathbb R[/mm] eine höhere Kardinalzahl..
>
> Aber wie kann man denn sonst erklären, dass [mm]\mathbb R[/mm] nicht
> abzählbar ist?
Man beweist es. Schau' dir Cantor's Zweites Diagonalverfahren an.
>
> Vielen Dank für die Hilfe!
>
> Viele Grüße
> irmchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Ich habe ein wenig in anderen Vorlesungen gelesen und habe dort einen Beweis gefunden, der zeigt, dass die Reellen Zahlen überabzählbar sind mit Hilfe des Cantorischen Diagonalverfahrens.
Jedoch habe ich dazu einige Fragen:
Satz :
[mm] \mathbb R [/mm] ist überabzählbar.
Beweis :
Wenn [mm] \mathbb R [/mm] abzählbar wäre, so wäre auch [mm] \left[0,1 \right[ [/mm] abzählbar.
Angenommen [mm] \left[0,1 \right[ [/mm] wäre abzählbar.
Dann gebe es eine FOlge [mm] (X_n ) [/mm] reeller Zahlen mit
[mm] \left[0,1 \right[ = \{ X_n \ | \ n \in \mathbb N \} [/mm] .
Dezimanzahldarstellung der [mm] X_n [/mm] :
[mm] X_1 = 0, c_{11} c_{12} c_{13} ... [/mm]
[mm] X_2 = 0, c_{21} c_{22} c_{23} ... [/mm]
[mm] X_3 = 0, c_{31} c_{32} c_{33} ... [/mm]
usw.
Dabei ist [mm] c_{nk} \in \{ 0,1,2,...,9 \} [/mm]
Dabei gelte für jedes n :
Unendlich viele der [mm] c_{nk}[/mm] sind [mm] \ne 9 [/mm].
Mit dieser Folgerung ist die Dezimaldarstellung einer Zahl eindeutig.
Definiere
[mm] f: \{ 0,1,2,...,9 \} \to \{ 0,1,2,...,9 \} [/mm] durch
[mm] f(m)=\left\{\begin{matrix}
m-1, & \mbox{für } m \ge 1 \\
1, & \mbox{für }m = 0
\end{matrix}\right. [/mm].
Dann ist [mm] f(m) \ne m [/mm] und [mm] f(m) \ne 9 \forall \ m \in \{0,1,2,...,9 \} [/mm].
Sei [mm] X := 0, c_1 c_2 c_3 .... [/mm] mit [mm] c_{1n} := f(c_{nn} ) [/mm]
Es ist
[mm] X \ne X_1 [/mm] weil [mm] c_1 = f(c_{11} ) \ne c_{11} [/mm]
[mm] X \ne X_2 [/mm] weil [mm] c_2 = f(c_{22} ) \ne c_{22} [/mm] ....
usw.
Also ist [mm] X \ne X_n \ \forall \ n \in \mathbb N [/mm] .
Und das ist ein Widerspruch!
Irgendwie sehe ich da zwar das man diese X nicht darstellen kann, aber was sagt mir das??? Könnte mir jemand kurz erklären, was hier genau gemacht wurde, und wo genau das Cantorische Diagonalverfahren einsetzt?
Vielen Dank!
Viel Grüße
Irmchen
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> Guten Morgen!
>
> Ich habe ein wenig in anderen Vorlesungen gelesen und habe
> dort einen Beweis gefunden, der zeigt, dass die Reellen
> Zahlen überabzählbar sind mit Hilfe des Cantorischen
> Diagonalverfahrens.
> Jedoch habe ich dazu einige Fragen:
>
> Satz :
>
> [mm]\mathbb R[/mm] ist überabzählbar.
>
> Beweis :
>
> Wenn [mm]\mathbb R[/mm] abzählbar wäre, so wäre auch [mm]\left[0,1 \right[[/mm]
> abzählbar.
> Angenommen [mm]\left[0,1 \right[[/mm] wäre abzählbar.
> Dann gebe es eine FOlge [mm](X_n )[/mm] reeller Zahlen mit
> [mm]\left[0,1 \right[ = \{ X_n \ | \ n \in \mathbb N \}[/mm] .
>
> Dezimanzahldarstellung der [mm]X_n[/mm] :
>
> [mm]X_1 = 0, c_{11} c_{12} c_{13} ...[/mm]
>
> [mm]X_2 = 0, c_{21} c_{22} c_{23} ...[/mm]
>
> [mm]X_3 = 0, c_{31} c_{32} c_{33} ...[/mm]
>
>
> usw.
>
> Dabei ist [mm]c_{nk} \in \{ 0,1,2,...,9 \}[/mm]
>
> Dabei gelte für jedes n :
>
> Unendlich viele der [mm]c_{nk}[/mm] sind [mm]\ne 9 [/mm].
>
> Mit dieser Folgerung ist die Dezimaldarstellung einer Zahl
> eindeutig.
>
> Definiere
>
> [mm]f: \{ 0,1,2,...,9 \} \to \{ 0,1,2,...,9 \}[/mm] durch
>
> [mm]f(m)=\left\{\begin{matrix}
m-1, & \mbox{für } m \ge 1 \\
1, & \mbox{für }m = 0
\end{matrix}\right. [/mm].
>
> Dann ist [mm]f(m) \ne m[/mm] und [mm]f(m) \ne 9 \forall \ m \in \{0,1,2,...,9 \} [/mm].
>
> Sei [mm]X := 0, c_1 c_2 c_3 ....[/mm] mit [mm]c_{1n} := f(c_{nn} )[/mm]
>
> Es ist
>
> [mm]X \ne X_1[/mm] weil [mm]c_1 = f(c_{11} ) \ne c_{11}[/mm]
> [mm]X \ne X_2[/mm] weil
> [mm]c_2 = f(c_{22} ) \ne c_{22}[/mm] ....
>
> usw.
>
> Also ist [mm]X \ne X_n \ \forall \ n \in \mathbb N[/mm] .
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> Und das ist ein Widerspruch!
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> Irgendwie sehe ich da zwar das man diese X nicht darstellen
> kann, aber was sagt mir das???
Dass die reelle Zahl $X$ in der Abzählung nicht vorkommt.
> Könnte mir jemand kurz
> erklären, was hier genau gemacht wurde, und wo genau das
> Cantorische Diagonalverfahren einsetzt?
Es wird gezeigt, dass man zu jeder Abzählung reeller Zahlen aus $[0;1[$ eine reelle Zahl [mm] $X\in [/mm] [0;1[$ finden kann, die in dieser Abzählung nicht auftritt (die Konstruktion dieser Zahl $X$ verläuft über eine Modifikation der "Diagonalelemente" in einer tabellarischen Darstellung der abgezählten Zahlen aus $[0;1[$). Daraus schliesst man, dass es keine Abzählung aller reeller Zahlen aus $[0;1[$ geben kann.
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