Q Teilmenge eines Körpers K < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Sei K eine Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] die ein Körper (versehen mit Operationen + und *, Nullelement 0 und Einselement 1 wie für [mm] \IR). [/mm]
Zeigen Sie, dass der Körper [mm] \IQ [/mm] eine Teilmenge von K ist. |
Ich weiss nur noch nicht so recht, wie ich jetz zeigen soll, dass [mm] \IQ [/mm] eine Teilmenge von K ist.
Da ich nur weiss, dass K ein Körper ist muss ich dafür wohl irgendwie die Körperaxiome benutzen. Aber wie soll mich das weiterbringen ?
Ich denke mal [mm] \IQ [/mm] ist der kleinste Körper den es gibt.
Also erstmal ist festzuhalten, dass [mm] 0\in \IQ, [/mm] da [mm] \IQ [/mm] ein Körper ist.
Da K teilmenge von [mm] \IR [/mm] ist, gelten in K die selben additions und Substraktions Eigenschaften wie in [mm] \IR.
[/mm]
Also für K gilt das 0-Element, und somit:
[mm] 0\in [/mm] K, mit 0+x=x [mm] x\in [/mm] K.
Da [mm] \IQ [/mm] ein Körper ist, ist auch [mm] 0\in \IQ.
[/mm]
Daran kann es also nicht scheitern.
Für K gilt außerdem es gibt eine Negative Inverse,
Also x+(-x)=0
Somit sind negative Elemente in K enthalten.
Es muss sogar gelten [mm] \IZ \subset [/mm] K, da sonst keine Addition auf K nach den Rechnenregeln für [mm] \IR [/mm] erklärt werden könnte.
Denn wäre K:={0,1}, so wäre 1+1=2 [mm] \not\in [/mm] K
Da auf K auch eine multiplikative Inverse Erklärt ist, gilt:
a*a^-1=1
Da alle ganzen Zahlen in K enthalten seien müssen (nach meiner Überlegung oben) muss also auch jede inverse, allo alle rationalen Zahlen enthalten sein.
Also ist [mm] \IQ \subset [/mm] K.
So meine bisherigen Überlegungen. Kann man damit in etwa was anfangen, oder bin ich komplett auf dem Holzweg ?
So ganz sicher was ich genau zeigen soll, bin ich mir nicht.
Ich könnte echt ein wenig Hilfe gebrauchen.
Mfg. Lé Frog
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Fr 08.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
gut argumentiert!
es fehlt vielleicht noch , dass K nicht abzählbar ist, weil mit k auch n*k enthalten sein muss, d.h. die teilmenge muss vom [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] gehen.
Die reziproken der ganzen Zahlen haben alle die Form 1/k, also noch dazusagen, dass damit auch 1/k+1/k usw dazugehören.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:02 Sa 09.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> gut argumentiert!
> es fehlt vielleicht noch , dass K nicht abzählbar ist,
Hallo leduart,
wie das ? [mm] K=\IQ [/mm] ist nicht verboten.
FRED
> weil mit k auch n*k enthalten sein muss, d.h. die
> teilmenge muss vom [mm]-\infty[/mm] bis [mm]+\infty[/mm] gehen.
> Die reziproken der ganzen Zahlen haben alle die Form 1/k,
> also noch dazusagen, dass damit auch 1/k+1/k usw
> dazugehören.
> Gruss leduart
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