Q, GL(2) und diagonale < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Mo 07.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei [mm] $A=\vektor{3 & -2 \\ 4 & -3}$ [/mm]
a) Finde $Q$ in $ GL(2) $ und diagonale $ [mm] \Lambda [/mm] $ mit [mm] $A=Q\Lambda Q^{-1}$
[/mm]
b) berechne [mm] $A^{2011}$ [/mm] |
Hallo,
Das GL(2) bedeutet allgemeine lineare Gruppe vom Grad 2 ?
Q ist die Matrix mit den Basisvektoren von A als Eintrag, [mm] Q^{-1} [/mm] die Inverse davon, was ist dann das [mm] $\Lambda$? [/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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Hallo,
> Sei [mm]A=\vektor{3 & -2 \\ 4 & -3}[/mm]
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> a) Finde [mm]Q[/mm] in [mm]GL(2)[/mm] und diagonale [mm]\Lambda[/mm] mit [mm]A=Q\Lambda Q^{-1}[/mm]
>
> b) berechne [mm]A^{2011}[/mm]
> Hallo,
>
> Das GL(2) bedeutet allgemeine lineare Gruppe vom Grad 2 ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Q ist die Matrix mit den Basisvektoren von A als Eintrag,
> [mm]Q^{-1}[/mm] die Inverse davon,
Nicht Basisvektoren von A, sondern Basiselemente aus den Eigenräumen der Matrix A.
> was ist dann das [mm]\Lambda[/mm]?
Die Diagonalmatrix. Es gilt auch [mm] \Lambda=Q^{-1}AQ.
[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Danke und Gruss
>
> kushkush
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Eigenwerte sind [mm] $\lambda_{1/2}=\pm [/mm] 1$
Eigenvektoren sind [mm] $\vektor{1 \\ 1}$ [/mm] und [mm] $\vektor{1 \\ 2 }$ [/mm]
Also ist Q: [mm] $\vektor{1 & 1 \\ 1 & 2}$ [/mm]
und [mm] $Q^{-1}:\vektor{2&-1 \\ -1 & 1}$ [/mm]
also ist $ [mm] \Lambda=QAQ^{-1}=\vektor{6&2 \\ -4&-6}$
[/mm]
und [mm] $A^{2011}=QA^{2011}Q^{-1}=\vektor{2\cdot 6^{2011} & - (2)^{2011} \\ - (-4)^{2011} & 2\cdot (-6)^{2011}}$ [/mm] ?
Danke für die Hilfe.
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
ich komme auf [mm] $A^{2011}=\vektor{3 & -2 \\ 4 & -3}$ [/mm]
stimmt das?
Danke dir!
Gruss
kushkush
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Hi,
> ich komme auf [mm]A^{2011}=\vektor{3 & -2 \\ 4 & -3}[/mm]
> stimmt das?
Ja.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Di 08.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit:
Entweder man sieht, dass [mm] A^2=E [/mm] (= Einheitsmatrix) ist, oder man bemüht den Satz von Cayley-Hamilton. Es folgt:
[mm] A^{2n}=E [/mm] und [mm] A^{2n+1}=A [/mm] (n [mm] \in \IN_0)
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti und fred,
Danke!!
Gruss
kushkush
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