QR Algorithmus mit Shift < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix
[mm] A=\pmat{ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 5& 0\\2 & 0 & 3 }
[/mm]
Bestimme die Eigenwerte mit dem QR-Algorithmus mit einfachen Shift.
Führen sie von Hand zwei Iterationen dieses Verfahren für A durch. |
Hallo zusammen,
ich komme nicht weiter und hoffe auf eure Hilfe.
Ich habe erstmal
A in Hessenbergform gebracht d.h.
ich habe QR-Algorithmus verwendet: [mm] \alpha=-sign(a_{21})||a_1|| [/mm] wobei [mm] a_1=\vektor{a_{21} \\ a_{31}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha=2
[/mm]
[mm] u=\bruch{a_1-\alpha\cdot e_1}{||a_1-\alpha\cdot e_1||}=\bruch{1}{\wurzel{8}}\vektor{-2\\ 2}
[/mm]
[mm] \overline{Q}=I_2u^T\cdot u=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
[mm] Q=\pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & \overline{Q}\\0& } \Rightarrow \pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & 0& 1\\0&1&0 }
[/mm]
[mm] QAQ=\pmat{ 3 & 0& 0 \\ 2 & 3&0\\0&6&5 }=H
[/mm]
laut skript QR mit shift:
[mm] H_1=H [/mm] für [mm] k=1,2,3...:H_k-h_{n,n}^{(k)}I [/mm] wobei [mm] h_{n,n} [/mm] der unterste EIntrag auf der Haupdiagonal ist
d.h dann
[mm] \pmat{ 3 & 0& 0 \\ 2 & 3&0\\0&5&6 }-5\cdot I=\pmat{ -2 & 2&0 \\ 2 &-2&0\\0&6&0 }
[/mm]
dann habe ich von diese Matrix die Eigenwerte ausgerechnet und erhalte dann [mm] \lambda_{1/2}=0 [/mm] und [mm] \lambda_3=-4
[/mm]
ist es bis dahin richtig? falls ja, wie mache ich weiter?
falls nein, wo liegt mein fehler?
ich bin für jeden Tipp dankbar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 16.07.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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