QM: Kommutator Impuls/Hammilt. < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | | Berechne [mm] [p_i,E_{tot}] [/mm] für ein freies Teilchen. |
Hallo,
[mm] E_{tot} [/mm] = H (Hamiltonoperator)
[mm] E_{tot} [/mm] = H = [mm] -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V
[/mm]
Aber: Wir haben ein freies Teilchen, also V=0
also:
[mm] E_{tot} [/mm] = [mm] -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta
[/mm]
(Achtung, in folgender Rechung ist i einmal die imaginäre Einheit und einmal ein Index...)
[mm] [p_i,-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta]\Psi
[/mm]
=
[mm] (i\hbar\frac{\partial}{\partial i}\frac{\hbar^2}{2m}\Delta-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta i\hbar\frac{\partial}{\partial i})\Psi
[/mm]
=
[mm] \frac{i\hbar^3}{2m}\frac{\partial}{\partial i}\Delta\Psi-\frac{i\hbar^3}{2m}\Delta\frac{\partial}{\partial i}\Psi
[/mm]
=0
weil [mm] \Delta\frac{\partial}{\partial i}\Psi=\frac{\partial}{\partial i}\Delta\Psi
[/mm]
Ist meine Rechnung und Argumentation richtig?
Gruß,
Rutzel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Do 15.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
Ich weiß nicht, ob es ungern gesehen ist. Da eine Antwort für mich aber sehr wichtig ist, hole ich diese Frage somit wieder nach vorne.
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Do 15.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechne [mm][p_i,E_{tot}][/mm] für ein freies Teilchen.
> Hallo,
>
> [mm]E_{tot}[/mm] = H (Hamiltonoperator)
> [mm]E_{tot}[/mm] = H = [mm]-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V[/mm]
>
> Aber: Wir haben ein freies Teilchen, also V=0
>
> also:
> [mm]E_{tot}[/mm] = [mm]-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta[/mm]
>
> (Achtung, in folgender Rechung ist i einmal die imaginäre
> Einheit und einmal ein Index...)
>
> [mm][p_i,-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta]\Psi[/mm]
> =
> [mm](i\hbar\frac{\partial}{\partial i}\frac{\hbar^2}{2m}\Delta-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta i\hbar\frac{\partial}{\partial i})\Psi[/mm]
>
> =
> [mm]\frac{i\hbar^3}{2m}\frac{\partial}{\partial i}\Delta\Psi-\frac{i\hbar^3}{2m}\Delta\frac{\partial}{\partial i}\Psi[/mm]
>
> =0
>
> weil [mm]\Delta\frac{\partial}{\partial i}\Psi=\frac{\partial}{\partial i}\Delta\Psi[/mm]
>
> Ist meine Rechnung und Argumentation richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es geht noch etwas einfacher, da der Hamiltonoperator des freien Teilchens auch durch die Impulsoperatoren ausgedrückt werden kann:
[mm]E_{\text{tot}} = \bruch{1}{2m} \summe_j p_j^2 [/mm].
Daher ist:
[mm] [p_i ,E_{\text{tot}}] = \bruch{1}{2m} \summe_j[p_i,p_j^2] = 0[/mm],
denn alle Impulsoperatoren kommutieren.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Do 15.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo Rainer,
danke für Deine Kontrolle und Tips.
Gruß,
Rutzel
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