QG im Restklassenring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 So 31.08.2008 | | Autor: | MasterMG |
| Aufgabe | | Man zeige: Im Restklassenring [mm] \IZ_{45} [/mm] gibt es keine quadratische Gleichung, die genau eine Lösung hat. |
Ich benötige dringend Hilfe bei dieser Aufgabe. Wenn es keine quadratische Gleichung im Restklassenring [mm] \IZ_{45} [/mm] geben soll, die genau eine Lösung hat, dann müssen wohl alle quadratischen Gleichungen mindestens zwei oder gar keine Lösung haben, aber wie komme ich darauf und wie kann ich das zeigen?
Bin dankbar für jede Hilfe.
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 So 31.08.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Man zeige: Im Restklassenring [mm]\IZ_{45}[/mm] gibt es keine
> quadratische Gleichung, die genau eine Lösung hat.
> Ich benötige dringend Hilfe bei dieser Aufgabe. Wenn es
> keine quadratische Gleichung im Restklassenring [mm]\IZ_{45}[/mm]
> geben soll, die genau eine Lösung hat, dann müssen wohl
> alle quadratischen Gleichungen mindestens zwei oder gar
> keine Lösung haben, aber wie komme ich darauf und wie kann
> ich das zeigen?
Fangen wir doch mal mit einem kleineren Beispiel an, etwa [mm] $\IZ_9$. [/mm] Dort kannst du ja erstmal alles modulo 3 nehmen, hast also die kanonische Reduktion [mm] $\IZ_9 \to \IZ_3$. [/mm] Wenn du eine quadratische Gleichung in [mm] $\IZ_9$ [/mm] hast, kannst du jede Loesung auch modulo 3 reduzieren zusammen mit der Gleichung, womit die Gleichung dann hoechstens genausoviele Loesungen in [mm] $\IZ_3$ [/mm] hat.
Jetzt ist [mm] $\IZ_3$ [/mm] ein Koerper, sprich du weisst wie (quadratische) Gleichungen dort funktionieren.
Wenn du also eine quadratische Gleichung $a [mm] x^2 [/mm] + b x + c = 0$ hast mit $a, b, c [mm] \in \IZ_9$, [/mm] die genau eine Loesung hat (angenommen es gibt sowas), dann hat die Gleichung modulo 3 gesehen auch nur genau eine Loesung.
Modulo 3 ist sie also von der Form [mm] $\mu [/mm] (x - [mm] \lambda)^2$ [/mm] oder [mm] $\mu [/mm] (x - [mm] \lambda)$ [/mm] (der Grad kann sich verkleinern, falls $a$ im Kern von [mm] $\IZ_9 \to \IZ_3$ [/mm] liegt) mit [mm] $\mu \in (\IZ_3)^\ast$ [/mm] und [mm] $\lambda \in \IZ_3$.
[/mm]
Damit kannst du wiederum etwas ueber die Gleichung modulo 9 aussagen. Und dann kannst du versuchen, dass du eine weitere Nullstelle findest: wenn $x$ eine ist, probier doch mal $x + 3$.
Und nun zurueck zu [mm] $\IZ_{45}$: [/mm] verwende den Chinesischen Restsatz.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 So 31.08.2008 | | Autor: | MasterMG |
Soll ich denn die 45 in 3 [mm] \* [/mm] 3 [mm] \* [/mm] 5 aufteilen?
Ist es denn so dass :
[mm] [ax^2+bx+c\equiv0(45)] \gdw [ax^2+bx+c\equiv0(5) \wedge ax^2+bx+c\equiv0(3) \wedge ax^2+bx+c\equiv0(3)] [/mm] ?
Nach Satz von Vieta hat ja jede dieser quadratischen Gleichungen höchstens zwei Lösungen, da 3 und 5 Primzahlen sind. Muss ich denn jetzt Lösungen finden, die sowohl für Modolo 5 als auch für Modolo 3 gelten, und diese gelten dann auch für Modolo 45? Aber wie zeige ich denn dass es keine Gleichungen mit genau einer Lösung gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 So 31.08.2008 | | Autor: | felixf |
Halo
Du scheinst dich nur fuer den letzten Schritt zu interessieren.
> Soll ich denn die 45 in 3 [mm]\*[/mm] 3 [mm]\*[/mm] 5 aufteilen?
Wenn du so magst... Ich wuerd allerdings eher [mm] $3^2 \cdot [/mm] 5$ schreiben.
> Ist es denn so dass :
> [mm][ax^2+bx+c\equiv0(45)] \gdw [ax^2+bx+c\equiv0(5) \wedge ax^2+bx+c\equiv0(3) \wedge ax^2+bx+c\equiv0(3)][/mm]
> ?
Wie kommst du darauf?
Wenn du den Chinesischen Restsatz anwenden moechtest, bedenke bitte, dass 3 und 3 nicht teilerfremd sind.
LG Felix
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