Q-lineare Abhängigkeit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir setzen [mm] t=\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] und betrachten die drei Zahlen 1, t und [mm] t^2. [/mm] Diese drei Zahlen sind linear abhängig. Man sieht das unmittelbar daran, dass sich jede der drei Zahlen als Linearkombination der beiden "Basiselemente" 1 und [mm] \wurzel{5} [/mm] darstellen lässt. Im zweidimensionalen Q-Vektorraum [mm] \{q_1+q_2\wurzel{5}|q_1,q_2 \in Q\} [/mm] sind drei Elemente stets linear anhängig.
Wie sieht eine nicht-triviale Q-Linearkombination von 1, t und [mm] t^2 [/mm] aus? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich bin neu in diesem Forum und daher noch etwas unerfahren bei den Fragestellungen.
Diese Aufgabenstellung habe ich in analytischer Zahlentheorie erhalten.
Meine erste Frage lautet: Wie komme ich auf die Basiselemente 1 und [mm] \wurzel{5}?
[/mm]
Die lineare Abhängigkeit habe ich wie folgt ermittelt:
[mm] t^2=\bruch{3+\wurzel{5}}{2} =1+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}=1+t,
[/mm]
somit linear abhängig.
Leider weiß ich hier absolut nicht, wie ich die Basiselemente ermitteln kann und wäre daher sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.
Meine 2. Frage ist die Aufgabenstellung: Wie sieht eine nicht-triviale Q-Linearkombination von 1, t und [mm] t^2 [/mm] aus?
Mein Ansatz hier ist:
[mm] q_1+q_2t+q_3t^2=0
[/mm]
[mm] q_1+q_2 t=-q_3t^2
[/mm]
[mm] 1q_1+\bruch{1+\wurzel{5}}{2} q_2=\bruch{3+\wurzel{5}}{2}q_3
[/mm]
[mm] 2q_1+(1+\wurzel{5})q_2=(3+\wurzel{5})q_3
[/mm]
Ist mein Ansatz richtig? Wie bestimme ich eine nicht-triviale Q-Linearkombination hier?
Vielen Dank
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> Wir setzen [mm]t=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}[/mm] und betrachten die
> drei Zahlen 1, t und [mm]t^2.[/mm] Diese drei Zahlen sind linear
> abhängig. Man sieht das unmittelbar daran, dass sich jede
> der drei Zahlen als Linearkombination der beiden
> "Basiselemente" 1 und [mm]\wurzel{5}[/mm] darstellen lässt. Im
> zweidimensionalen Q-Vektorraum [mm]\{q_1+q_2\wurzel{5}|q_1,q_2 \in Q\}[/mm]
> sind drei Elemente stets linear anhängig.
> Wie sieht eine nicht-triviale Q-Linearkombination von 1, t
> und [mm]t^2[/mm] aus?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Gesucht ist hier wohl eine nichttriviale Linearkombination von [mm] 1,t,t^2, [/mm] welche 0 ergibt.
> Meine erste Frage lautet: Wie komme ich auf die
> Basiselemente 1 und [mm]\wurzel{5}?[/mm]
Die Elemente Deines [mm] \IQ-Vektorraumes [/mm] sind von der Machart [mm] q_1+q_2\wurzel{5} [/mm] mit [mm] q_1,q_2 \in \IQ.
[/mm]
Daß die 1 und [mm] \wurzel{5} [/mm] den VR erzeugen, dürfte offensichtlich sein.
Nachzudenken bleibt über die lineare Unabhängigkeit der beiden.
Wesentlich ist hier, daß wir einen [mm] \IQ-VR [/mm] betrachten.
Damit müssen wir die Frage klären, ob es eine nichttriviale Linearkombination von 1 und [mm] \wurzel{5} [/mm] mit Koeffizienten aus [mm] \IQ [/mm] gibt, welche 0 ergibt.
Gibt es also [mm] q_1,q_2\in \IQ [/mm] mit [mm] q_1+q_2\wurzel{5}=0?
[/mm]
Schauen wir mal nach:
Seien [mm] q_1, q_2\in \IQ [/mm] mit [mm] q_1+q_2\wurzel{5}=0.
[/mm]
1. Fall: [mm] q_2=0. [/mm] Es folgt???
2. Fall: [mm] q_2\not=0. [/mm] Es folgt?
> Die lineare Abhängigkeit habe ich wie folgt ermittelt:
> [mm]t^2=\bruch{3+\wurzel{5}}{2} =1+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}=1+t,[/mm]
>
> somit linear abhängig.
Ja, [mm] t^2 [/mm] ist eine Linearkombination von 1 und t.
> Leider weiß ich hier absolut nicht, wie ich die
> Basiselemente ermitteln kann und wäre daher sehr dankbar,
> wenn mir jemand helfen könnte.
Worum geht es jetzt genau? Von welchen Elementen willst Du zeigen, daß sie eine Basis sind?
>
> Meine 2. Frage ist die Aufgabenstellung: Wie sieht eine
> nicht-triviale Q-Linearkombination von 1, t und [mm]t^2[/mm] aus?
> Mein Ansatz hier ist:
> [mm]q_1+q_2t+q_3t^2=0[/mm]
> [mm]q_1+q_2 t=-q_3t^2[/mm]
> [mm]1q_1+\bruch{1+\wurzel{5}}{2} q_2=\bruch{3+\wurzel{5}}{2}q_3[/mm]
>
> [mm]2q_1+(1+\wurzel{5})q_2=(3+\wurzel{5})q_3[/mm]
> Ist mein Ansatz richtig? Wie bestimme ich eine
> nicht-triviale Q-Linearkombination hier?
Schreib Deine Gleichung als (...)*1 + [mm] (...)*\wurzel{5}=0.
[/mm]
Da 1 und [mm] \wurzel{5} [/mm] linear unabhängig sind, müssen beide Klammern =0 sein, woraus Du Informationen über [mm] q_1 [/mm] und [mm] q_2 [/mm] erhältst.
Gruß v. Angela
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Super, vielen Dank! Jetzt hab ich es kapiert!!!
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