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| Aufgabe | Es gibt eine dreiseitige Pyramide mit den folgenden Ecken:
S1(6/0/0), S2(0/-6/0), O(0/0/0) und S3(0/0/12)
Bestimmen Sie den Parameter s so, dass der Punkt S(s/-s/s) von allen vier Seitenflächen der Pyramide gleichen Anstand hat und im Inneren der Pyramide liegt. |
ich habs folgendermaßen versucht:
Für alle 4 Seitenflächen jeweils eine Ebenengleichung aufgestellt:
Ebene-S2S1O:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -6 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{0 \\ 6 \\ 0} [/mm] + [mm] t*\vektor{6 \\ 6 \\ 0}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] Normalenvektor: [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Ebene-S3S2S1:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 12} [/mm] + [mm] r*\vektor{0 \\ -6 \\ -12} [/mm] + [mm] t*\vektor{6 \\ 0 \\ -12}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] Normalenvektor: [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Koordinatenform: 2x1-2x2+x3=12
Ebene-S3S1O:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\0 \\12} [/mm] + [mm] r*\vektor{6 \\ 0 \\ -12} [/mm] + [mm] t*\vektor{0 \\ 0 \\ -12}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] Normalenvektor: [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Ebene-S3S2O:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\0 \\ 12} [/mm] + [mm] r*\vektor{0 \\ -6 \\ -12} [/mm] + [mm] t*\vektor{0 \\ 0 \\ -12}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] Normalenvektor: [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
jetzt wollte ich es so weitermachen:
//Abstand eines Punktes von einer Ebene mithilfe der Koordnitaenform//
d = | [mm] \bruch{0*s+0*(-s)+0*s}{\wurzel{0^2+0^2+0^2}} [/mm] |
d = | [mm] \bruch{2*s+(-2)*(-s)+1*s-12}{\wurzel{2^2+(-2)^2+1^2}} [/mm] |
d = | [mm] \bruch{0*s+0*(-s)+0*s}{\wurzel{0^2+0^2+0^2}} [/mm] |
d = | [mm] \bruch{0*s+0*(-s)+0*s}{\wurzel{0^2+0^2+0^2}} [/mm] |
naja.. da ich ja für d = 0 habe, kann ich jetzt so nich weiter machen...
kann jemand mir bitte helfen, wie ich das anders lösen könnte?
vielen dank schon im voraus....
liebe grüße,
matheLK-Abi07
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Mi 11.04.2007 | | Autor: | statler |
Hey,
wie hast du denn diese merkwürdigen (und falschen) Normalenvektoren berechnet?
Mit dem Kreuzprodukt, oder aus der Koordinatenform der Ebene, oder noch anders?
Also: nächster Anlauf ...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Mi 11.04.2007 | | Autor: | abi2007LK |
Er hat es wohl so gemacht:
Spannvektor1 * Normalvektor = Spannvektor2 * Normalvektor.
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mithilfe der richtungsvektoren der ebenen:
1.Ebene: 6n2 = 0
6n1 + 6n2 = 0
[mm] \gdw [/mm] n2 = 0; n1 = 0; n3 = 0
2. Ebene: -6n2 - 12n3 = 0
6n1 -12n3 = 0
[mm] \gdw [/mm] für n3 = 1 wählen [mm] \gdw [/mm] n1 = 2 [mm] \gdw [/mm] n2 = -2
usw...
ist das denn so falsch? habe es immer so gemacht. vielleicht habe ich mich verrechnet. das kann natürlich auch sein, was bei mir sehr oft vorkommt.
Liebe Grüße und danke für die schnelle Rückmeldung...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mi 11.04.2007 | | Autor: | statler |
> mithilfe der richtungsvektoren der ebenen:
>
> 1.Ebene: 6n2 = 0
> 6n1 + 6n2 = 0
Wie kommst du darauf? Beide Richtungsvektoren haben z = 0, liegen also in der x-y-Ebene. Die Koordinatenform dieser Ebene ist eben auch z=0. Dann ist natürlich (0|0|1) ein Normalenvektor, sogar einer der Länge 1.
Das Kreuzprodukt wäre ((0|0|-36).
> [mm]\gdw[/mm] n2 = 0; n1 = 0; n3 = 0
Jetzt verstehe ich es erst. Aber die Folgerung n3 = 0 ist falsch, n3 ist beliebig.
> 2. Ebene: -6n2 - 12n3 = 0
> 6n1 -12n3 = 0
>
> [mm]\gdw[/mm] für n3 = 1 wählen [mm]\gdw[/mm] n1 = 2 [mm]\gdw[/mm] n2 = -2
>
> usw...
>
> ist das denn so falsch? habe es immer so gemacht.
> vielleicht habe ich mich verrechnet. das kann natürlich
> auch sein, was bei mir sehr oft vorkommt.
Dein Ansatz ist anscheinend doch richtig, der Fehler liegt in der Durchführung.
Bis später
Dieter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
> mithilfe der richtungsvektoren der ebenen:
>
> 1.Ebene: 6n2 = 0
> 6n1 + 6n2 = 0
>
> [mm]\gdw[/mm] n2 = 0; n1 = 0; n3 = 0
Hi,
0-Vektor kann nicht als Normalenvektor gewählt werden.
In deiner Berechnung hast du für [mm] n_{1} [/mm] und [mm] n_{2} [/mm] zwar richtig 0 rausgekriegt, aber für [mm] n_{3} [/mm] musst du eine beliebige Zahl wählen, die ungleich 0 ist.
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vielan dank für eure hilfe... ich habs soweit fertig.
ich habe ne rückfrage, kann es denn mehrere solche punkte geben oder gibt es nur eine einzige lösung? denn ich habe für s = 6 und in der musterlösung steht s = 1,5.
ich habs so gemacht:
d = [mm] |\bruch{2s-2*(-s)+s-12}{\wurzel{2^2+(-2)^2+1^2}} [/mm] | = s
5s-12 = 3s
s = 6
ist das denn so auch richtig? eigentlich müsste das ja so auch richtig sein, denn wenn ich die probe mache, ob alle ebenen von diesem punkt den gleichen abstand haben, dann stimmt es... trotzdem möchte ich gerne wissen, ob es richtig ist.
vielen dank für eure hilfe :)
mit lieben grüßen,
matheLK-Abi07
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Mi 11.04.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
Ich kann das jetzt nicht mehr genau durchhecheln, aber in der Aufgabe
steht ausdrücklich 'den Punkt im Innern der P.' Daraus würde ich sofort schließen, daß es einen im Innern und vllt. sogar mehrere im Äußeren gibt.
Bei einem Dreieck gibt es ja auch den Inkreis und 3 Ankreise.
Ciao
Dieter
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danke schön für eure hilfe :)
d = $ [mm] |\bruch{2s-2\cdot{}(-s)+s-12}{\wurzel{2^2+(-2)^2+1^2}} [/mm] $ | = |-s|
s = 1,5
ich habs jetzt raus... d muss man gleich -s setzen, dann passt das ;)
danke schön
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
> vielan dank für eure hilfe... ich habs soweit fertig.
>
> ich habe ne rückfrage, kann es denn mehrere solche punkte
> geben oder gibt es nur eine einzige lösung? denn ich habe
> für s = 6 und in der musterlösung steht s = 1,5.
>
> ich habs so gemacht:
>
> d = [mm]|\bruch{2s-2*(-s)+s-12}{\wurzel{2^2+(-2)^2+1^2}}[/mm] | = s
> 5s-12 = 3s
> s = 6
In deiner Abstand-Formel steht der Betrag. D.h. du musst bei Weglassen 2 Möglichkeiten betrachten: d>0 und d<0
Also noch dazu:
5s-12 = -3s
s = 1,5
Jetzt musst du entscheiden für welchen s liegt der Punkt im Innern. Dafür kannst du z.B. den Abstand von O bis zur Ebene [mm] S_{1}S_{2}S_{3} [/mm] berechnen und mit dem Abstand von O bis zu Punkte (s = 6 und s = 1,5) vergleichen.
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