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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Di 10.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem ist eine senkrechte Pyramide durch die Punkte A(3/0/0), B(0/3/0), D(0/-3/0) und S(0/0/5) gegeben.Das in der x-y-Ebene liegende Quadrat ABCD bildet dabei die Grundfläche der Pyramide,der Punkt S die Spitze.
a) Zeichnen Sie in einem ebenen Koordinatensystem die Grundfläche sowie ein räumliches Schrägbild der Pyramide.Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes C.
b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. |
Hallo zusammen^^
Ich hab da ein kleines Problem bei dieser Aufgabe.Ich hab die Pyramide gezeichnet,aber ich weiß nicht genau wie ich die Koordinaten des Punktes C bestimmen soll.In einem Koordinatensystem mit 3 Achsen kann ich doch jeden Punkt mit unendlich vielen Kooridnten ausdrücken,ich könnte z.B. für A(3/0/0) auch schreiben: A(2/-1/-1).Dann hätte ich auch den Punkt A.
Woher weiß ich denn welche nun die "richtigen" Koordinaten des Punktes C sind???
b) Stimmt die b) so?
Ich hab erst mal die Grundfläche berechnet,die ist 18.Dann die Höhe mit Pythagoras,da hab ich raus [mm] h=\bruch{\wurzel{118}}{2}.Dann [/mm] eindach in die Formel für die Volumenberechnung eingesetzt und hab [mm] V=3*\wurzel{118} [/mm] raus.
Vielen Dank
lg
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> In einem kartesischen Koordinatensystem ist eine senkrechte
> Pyramide durch die Punkte A(3/0/0), B(0/3/0), D(0/-3/0) und
> S(0/0/5) gegeben.Das in der x-y-Ebene liegende Quadrat ABCD
> bildet dabei die Grundfläche der Pyramide,der Punkt S die
> Spitze.
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> a) Zeichnen Sie in einem ebenen Koordinatensystem die
> Grundfläche sowie ein räumliches Schrägbild der
> Pyramide.Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes C.
>
> b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
> Hallo zusammen^^
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> Ich hab da ein kleines Problem bei dieser Aufgabe.Ich hab
> die Pyramide gezeichnet,aber ich weiß nicht genau wie ich
> die Koordinaten des Punktes C bestimmen soll.In einem
> Koordinatensystem mit 3 Achsen kann ich doch jeden Punkt
> mit unendlich vielen Kooridnten ausdrücken,ich könnte z.B.
> für A(3/0/0) auch schreiben: A(2/-1/-1).Dann hätte ich auch
> den Punkt A.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Darf ich fragen, wie du auf diese fundamental falsche Auffassung kommst, die dich um Kopf und Kragen bringen könnte, weshalb ich mich hier so deutlich ausdrücke, damit du am besten sofort diese Aussage von dir vergisst! Die Mathematik mit Vektoren würde doch überhaupt nicht funktionieren, bzw ein Koordinatensystem wäre doch ziemlich sinnlos, wenn ich keine Möglichkeit hätte, den Punkt A genau festzulegen. Die Koordinaten (3/0/0) sind eindeutig und keineswegs dasselbe wie A (2/-1/-1)! (3/0/0) bedeutet, dass der Punkt auf der x-Achse liegt und zwar um drei Einheiten vom Ursprung entfernt! Mehr nicht. (2/-1/-1) hingegen bedeutet, du gehst zwei Einheiten auf der x-Achse in positive Richtung, dann eine Einheit in negative y-Richtung und schließlich auch noch eine negative Einhein auf der z-Achse nach unten! Damit bist du nicht einmal mehr in der x-y-Ebene sondern darunter und ganz woander als bei 3/0/0!!! Auch die Längen deiner beiden Punkte/Vektoren sind verschieden, denn der erste Vektor mit (3/0/0) hat die Länge [mm] \wurzel{9}=3 [/mm] und der zweite die Länge [mm] \wurzel{6}! [/mm] Also merk dir, dass die Angabe mit Koordianten immer eindeutig ist. In einem Koordinatensystem für den dreidimensionalen Raum gibt es drei Achsen, und durch drei Koordinaten ist JEDER Punkt in diesem Raum EINDEUTIG definiert.
> Woher weiß ich denn welche nun die "richtigen" Koordinaten
> des Punktes C sind???
Damit solltest du jetzt die Aufgabe lösen können. Wenn die Grundseite quadratisch sein soll, dann muss der Abstand BC genauso groß sein wie AD oder anders gesagt die Länge der Seite AD ist genauso groß wie BC. Außerdem siehst du den Punkt auch sofort, wenn du dir A, B und D einzeichnest A liegt +3 auf der x-Achse, B +3 auf der y-Achse und D -3 auf der y-Achse. Für ein Quadrat muss ja C gegenüber von A liegen und damit kann C nur -3 auf der x-Achse liegen also (-3/0/0)!
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> b) Stimmt die b) so?
> Ich hab erst mal die Grundfläche berechnet,die ist 18.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das stimmt, da eine Seite die Länge [mm] \wurzel{18} [/mm] hat.
> Dann
> die Höhe mit Pythagoras,da hab ich raus
> [mm]h=\bruch{\wurzel{118}}{2}.Dann[/mm]
Das kannst du natürlich machen, wenn du es so umständlich möchtest. Dazu müsstest du die Kante eines Eckpunktes zu S berechnen, z.B. [mm] \overline{AS}=\vektor{-3 \\ 0 \\ 5} [/mm] Länge dann [mm] \wurzel{34}
[/mm]
Dann brauchst du noch die Hälfte der Diagonale, also z.B. [mm] \bruch{1}{2}*|\overline{Ac}|=1/2*\vektor{-6 \\ 0 \\ 0} [/mm] Länge dann 3!
Damit kannst du rechnen: [mm] 34=h^2+3^2 h=\wurzel{25}=5 [/mm] siehe unten
Aber wozu so schwer? S ist dir doch gegeben! Damit weißt du, dass S 5 Einheiten über der x-y-Ebene liegt und damit die Höhe 5 hat! Und zudem ist die Höhe genau die z-Achse, so dass du hier nicht einmal den Mittelpunkt der Pyramide berechnen musst! Die Höhe h ist 5 cm lang. Dann kannst du damit jetzt V=1/3*G*h rechnen
> eindach in die Formel für
> die Volumenberechnung eingesetzt und hab [mm]V=3*\wurzel{118}[/mm]
> raus.
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Darf ich fragen, wie du auf diese fundamental
> falsche Auffassung kommst, die dich um Kopf und Kragen
> bringen könnte, weshalb ich mich hier so deutlich
> ausdrücke, damit du am besten sofort diese Aussage von dir
> vergisst! Die Mathematik mit Vektoren würde doch überhaupt
> nicht funktionieren, bzw ein Koordinatensystem wäre doch
> ziemlich sinnlos, wenn ich keine Möglichkeit hätte, den
> Punkt A genau festzulegen. Die Koordinaten (3/0/0) sind
> eindeutig und keineswegs dasselbe wie A (2/-1/-1)! (3/0/0)
> bedeutet, dass der Punkt auf der x-Achse liegt und zwar um
> drei Einheiten vom Ursprung entfernt! Mehr nicht. (2/-1/-1)
> hingegen bedeutet, du gehst zwei Einheiten auf der x-Achse
> in positive Richtung, dann eine Einheit in negative
> y-Richtung und schließlich auch noch eine negative Einhein
> auf der z-Achse nach unten! Damit bist du nicht einmal mehr
> in der x-y-Ebene sondern darunter und ganz woander als bei
> 3/0/0!!! Auch die Längen deiner beiden Punkte/Vektoren sind
> verschieden, denn der erste Vektor mit (3/0/0) hat die
> Länge [mm]\wurzel{9}=3[/mm] und der zweite die Länge [mm]\wurzel{6}![/mm]
> Also merk dir, dass die Angabe mit Koordianten immer
> eindeutig ist. In einem Koordinatensystem für den
> dreidimensionalen Raum gibt es drei Achsen, und durch drei
> Koordinaten ist JEDER Punkt in diesem Raum EINDEUTIG
> definiert.
Ok,ich glaub ich habs jetzt verstanden,eine Frage hab ich aber noch.Sagen wir mal ich hab den Punkt A(3/0/0) und B(2/-0.5/-0.5).Wenn ich diese beiden Punkte einzeichne dann sieht es so aus als ob sie an einer Stelle liegen,also auf denm Blatt liegen sie zumindest an einer Stelle.Das tun sie aber nicht,da es ein dreidimensionaler Raum ist und jeder Punkt somit an einer anderen Stelle liegt.Versteh ich das so richtig?
lg
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Hallo Mandy,
> Ok,ich glaub ich habs jetzt verstanden,eine Frage hab ich
> aber noch.Sagen wir mal ich hab den Punkt A(3/0/0) und
> B(2/-0.5/-0.5).Wenn ich diese beiden Punkte einzeichne dann
> sieht es so aus als ob sie an einer Stelle liegen,also auf
> denm Blatt liegen sie zumindest an einer Stelle.
Auf einem Blatt Papier hast Du ja nur zwei Dimensionen zur Verfügung. Du kannst daher nur eine Projektion des dreidimensionalen Raumes aufzeichnen. Ob die Projektionen zweier Punkte zusammenfallen oder nicht, liegt nicht nur an der Lage der Punkte, sondern auch an der Projektionsrichtung. Wenn Du die veränderst, rücken im vorliegenden Fall die Punkte auf Deinem Blatt auseinander.
> Das tun sie
> aber nicht,da es ein dreidimensionaler Raum ist und jeder
> Punkt somit an einer anderen Stelle liegt.Versteh ich das
> so richtig?
Ein bisschen kraus ausgedrückt, aber in der Sache richtig.
Das Wesentliche ist hier halt die Projektion. Veranschaulichen kannst Du Dir das am besten mit einem Schatten auf dem Fußboden. Wenn Du bei Sonnenlicht (weil das parallel ist) den Schatten sagen wir eines Fingers betrachtest, weißt Du nicht, wie weit der Finger entfernt ist. Mit ein bisschen Geschick kannst Du ihn sogar so bewegen, dass der Schatten gleich bleibt.
> lg
Grüße,
reverend
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