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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 So 27.02.2005 | | Autor: | meta |
Auf welcher Höhe muss man eine Pyramide parallel zur Grundseite durchschneiden, dass beide Teile das gleiche Volumen haben?
Kann man das aus der Formel: V= 1/3 Gh herleiten,
oder muss man den Ähnlichkeitssatz der beiden Ebenen verwenden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, meta,
aus dem Vierstreckensatz (Strahlensatz) folgt: Parallele Strecken verhalten sich wie das Verhältnis der Abstände zum Steckungszentrum. Daraus ergibt sich: Parallele Flächen verhalten sich wie die Quadrate der Abstände zum Streckungszentrum.
Dieses Streckungszentrum ist in unserem Beispiel die Pyramidenspitze; die "Abstände sind die zugehörigen Höhen: h für die gesamte Pyramide; h' für den oberen Teil (der am Ende halbes Volumen haben soll).
Demnach gilt (g kleinere Grundfläche, G große Grundfläche):
[mm] \bruch{g}{G} [/mm] = [mm] \bruch{h'^{2}}{h^{2}}
[/mm]
Nun soll (laut Aufgabenstellung) die kleinere Pyramide genau halb so groß sein wie die ganze:
[mm] \bruch{1}{3}*g*h' [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}*G*h
[/mm]
oder: g*h' = [mm] \bruch{1}{2}*G*h
[/mm]
Dividiert man jetzt durch g, setzt G = [mm] \bruch{h^{2}}{h'^{2}}*g [/mm] ein,
erhält man nach Umformung:
h' = [mm] \wurzel[3]{\bruch{1}{2}}*h.
[/mm]
Umgekehrt beträgt der Abstand der beiden Grundflächen, also der gesuchte Abstand:
h - [mm] \wurzel[3]{\bruch{1}{2}}*h.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mo 28.02.2005 | | Autor: | meta |
Danke, dass du dir so viel Zeit genommen hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mo 28.02.2005 | | Autor: | meta |
Hi, (Zwerglein)
müsste es nicht statt "Multipliziert man jetzt mit g", "Diffidiert man jetzt mit g" heißen?
Kann mir bitte jemand den nachfolgenden Schritt nochmal erklären:
"...erhält man nach Umformung:h'= dritte Würzel von 0.5 mal h"
(siehe Lösung meiner Aufgabe)
Wie man auf diesen Term kommt ist mir leider Unklar.
Mit vielen Grüßen:
meta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Mo 28.02.2005 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ich habe mir die Aufgabe und die Antwort mal durchgelesen. Die Pyramide soll doch so geteilt werden, dass am Ende beide Pyramiden das gleiche Volumen haben, oder nicht?
Der Ansatz war schon richtig.
[mm] \bruch{1}{3}*g*h' [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*G*h
[/mm]
nun forme ich allerdings nur noch nach h um, weil doch die Höhe gesucht ist, die ich von der Grundfläche her gesehen benötige.
Daraus folgt dann:
h = [mm] \bruch{g*h'}{G}
[/mm]
Ich denke das ist alles!
Gruss,
Dominic
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, clwoe,
so einfach ist das leider nicht, weil mit h ja nicht der gesuchte Abstand gemeint ist, sondern die gesamte Höhe der "großen" Pyramide!
mfG!
Zwerglein
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Hi, meta,
> Hi, (Zwerglein)
> müsste es nicht statt "Multipliziert man jetzt mit g",
> "Diffidiert man jetzt mit g" heißen?
Hast Recht! Hab's schon ausgebessert!
> Kann mir bitte jemand den nachfolgenden Schritt nochmal
> erklären:
> "...erhält man nach Umformung:h'= dritte Würzel von 0.5
> mal h"
> (siehe Lösung meiner Aufgabe)
> Wie man auf diesen Term kommt ist mir leider Unklar.
Also: (***) [mm] \bruch{1}{6}*G*h [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*g*h' [/mm] ist klar?
[mm] \bruch{G}{g}= \bruch{h^{2}}{h'^{2}} [/mm] auch? Daraus: G = [mm] \bruch{h^{2}}{h'^{2}}*g
[/mm]
Dies eingesetzt in (***) ergibt: [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{h^{2}}{h'^{2}}*g*h [/mm] = g*h'
g "gekürzt" erhält man: [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{h^{2}}{h'^{2}}*h [/mm] = h'
Mit h'^{2} multipliziert wird daraus: h'^{3} = [mm] \bruch{1}{2}*h^{3}
[/mm]
Und nun musst Du nur noch die 3. Wurzel ziehen!
mfG!
Zwerglein
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