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| Aufgabe | geg.: Funktionsfolge [mm] f_{n}=\bruch{2x}{n}e^{\bruch{x^{2}}{n}} [/mm] , [mm] x\in[0,1]
[/mm]
a) Untersuche auf [mm] (f_{n})_n\in\IN [/mm] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. |
Hi,
so hier zunächst die punktweise Konvergenz:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2x}{n}e^{\bruch{x^{2}}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2x}{n}(e^{x^{2}})^{\bruch{1}{n}}=0
[/mm]
zur gleichmäßigen Konvergenz: woher weiß ich was meine grenzfunktion ist bzw. wie wird sie bestimmt?
und warum macht man [mm] (f_{n})_n\in\IN [/mm] , also warum setzt man die [mm] n\in\IN [/mm] im Index. stört mich zwar nicht, aber hat es irgendwelche bedeutung oder tut man das aus platzgründen im index?^^
danke.
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Huhu,
vorweg, wenn du mehr als ein Zeichen im Index haben willst, setz es in geschweifte Klammern, in deinem Fall also
{n \in \IN }
sonst steht da nachher was anderes, als du eigentlich willst 
> so hier zunächst die punktweise Konvergenz:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2x}{n}e^{\bruch{x^{2}}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2x}{n}(e^{x^{2}})^{\bruch{1}{n}}=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zur gleichmäßigen Konvergenz: woher weiß ich was meine
> grenzfunktion ist bzw. wie wird sie bestimmt?
Die Grenzfunktion ist dieselbe wie bei der punktweisen Konvergenz.
Wenn Konvergenz vorliegt, ist diese Grenzfunktion eindeutig. Die Frage ist jetzt nur, ob die Konvergenz nur punktweise oder sogar gleichmäßig ist.
> und warum macht man [mm](f_{n})_n\in\IN[/mm] , also warum setzt man
> die [mm]n\in\IN[/mm] im Index. stört mich zwar nicht, aber hat es
> irgendwelche bedeutung oder tut man das aus platzgründen
> im index?^^
Nujo, du kannst auch nur schreiben [mm] ${(f_n)}_n$, [/mm] das heißt halt einfach nur, dass eine Folge ist (da eine Folge ja bekanntlich nichts anderes ist als eine Abbildung [mm] $\IN \to [/mm] X$, wobei X hier ein beliebiger Raum sein kann)
Das ist also nur Notationsgeschwurbel, ob man das dann [mm] ${(f_n)}_n$ [/mm] oder [mm] ${(f_n)}_{n\in\IN}$ [/mm] schreibt, ist letztlich egal.
MFG,
Gono.
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