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| Aufgabe | Zeichne die Punktemenge, für die gilt:
a) [mm] x^{2}-y^{2}\le0
[/mm]
b) [mm] x^{2}+y^{2}-2xy\le1 [/mm] |
Hallo Ihr Lieben,
ich bin mir mit diesem Thema ziemlich unsicher und würde deshalb gerne wissen, ob meine Überlegungen SInn machen.
Für a) ergeben sich mir zwei Ungleichungen, nämlich:
1. [mm] y\ge0 [/mm] : [mm] y\ge [/mm] x
2. y<0 : y<-x
Demnach ergibt sich in der Zeichnung im Koordiantensystem ein Bereich von den Winkelhalbierenden des 2. und 3. Quadranten, einschließlich der Geraden.
Für b) folglich:
1. [mm] y\ge [/mm] x-1
2. [mm] y\ge [/mm] x+1
Hier würde sich meinen Überlegungen nach der Bereich oberhalb von x+1 einschließlich der Gerade selber ergeben.
Hab ich mich da irgendwo verhaut oder macht es Sinn?!
Danke schön!! Schönen Sonntag noch...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 So 17.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Zeichne die Punktemenge, für die gilt:
> a) [mm]x^{2}-y^{2}\le0[/mm]
> b) [mm]x^{2}+y^{2}-2xy\le1[/mm]
> Hallo Ihr Lieben,
> ich bin mir mit diesem Thema ziemlich unsicher und würde
> deshalb gerne wissen, ob meine Überlegungen SInn machen.
>
> Für a) ergeben sich mir zwei Ungleichungen, nämlich:
> 1. [mm]y\ge0[/mm] : [mm]y\ge[/mm] x
> 2. y<0 : y<-x
Hallo,
das geht mit einer Ungleichung: | y | [mm] \ge [/mm] | x |
> Demnach ergibt sich in der Zeichnung im Koordiantensystem
> ein Bereich von den Winkelhalbierenden des 2. und 3.
> Quadranten, einschließlich der Geraden.zweiter Lösungsbereich liegt
Die beiden Lösungsbereiche liegen zwischen den Winkelhalbierenden des 1. und 2. Quadranten
sowie
zwischen den Winkelhalbierenden des 3. und 4. Quadranten.
>
> Für b) folglich:
> 1. [mm]y\ge[/mm] x-1
> 2. [mm]y\ge[/mm] x+1
> Hier würde sich meinen Überlegungen nach der Bereich
> oberhalb von x+1 einschließlich der Gerade selber
> ergeben.
Aus [mm]x^{2}+y^{2}-2xy\le1[/mm] folgt
[mm](x-y)^2\le1[/mm]
und daraus
| x-y [mm] |\le [/mm] 1.
Für [mm] x\ge [/mm] y (also für y [mm] \le [/mm] x) wird daraus x-y [mm] \le [/mm] 1 bzw. [mm] x-1\le [/mm] y. Zusammengefasst ergibt das
[mm] x-1\le [/mm] y [mm] \le [/mm] x. Das ist ein Streifen zwischen zwei parallelen Geraden.
Im Fall x<y würde [mm] -(x-y)\le [/mm] 1 gelten, also [mm] y\le [/mm] x+1. Zusammengefast ergibt das [mm] x
Fas ist wieder ein Streifen zwischen paralelen Geraden, der sich an den Streigen des ersten Falles anschließt.
Ingesamt erhältst du den Streifen zwischen y=x-1 und y=x+1 (einschließlich Begrenzungsgeraden).
Gruß Abakus
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> Hab ich mich da irgendwo verhaut oder macht es Sinn?!
> Danke schön!! Schönen Sonntag noch...
>
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Warum haben wir im Endefekt dann zwei verschiedene Lösungen?! Wo liegt denn dann mein Fehler, warum kann ich es nicht mit zwei Ungleichungen lösen?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 So 17.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Warum haben wir im Endefekt dann zwei verschiedene
> Lösungen?! Wo liegt denn dann mein Fehler, warum kann ich
> es nicht mit zwei Ungleichungen lösen?!
Das kannst du schon machen, aber dann bitte auch gründlich.
Aus [mm] y^2\ge x^2 [/mm] Kann man tatsächlich zwei Fälle ableiten.
Fall 1: [mm] y\ge [/mm] 0
Dann gilt [mm] y\ge [/mm] |x| (nicht nur [mm] y\ge [/mm] x!)
Fall 1.1: [mm] x\ge [/mm] 0
Daraus wird [mm] y\ge [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0
Fall 1.2: x<0 und damit (das brauchen wir gleich) gilt -x>0.
Dann gilt [mm] y\ge-x, [/mm] ingesamt also y [mm] \ge-x>0.
[/mm]
Auch im Fall 2 (y<0) musst du getrennt die Unter-Fälle [mm] x\ge [/mm] 0 und x<0 betrachten.
Gruß Abakus
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