Punkte in der Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Mi 11.02.2004 | | Autor: | Alanis |
Hallo an alle,
ich habe ein mathematisches Problem. Gegeben ist eine Ebenengleichung in Parameterform. Ich soll nun herausfinden ob bestimmte Punkte in der Ebene liegen, wie mache ich das ?
Vielen Dank, Eva
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Hallo Eva,
Du musst überprüfen, ob deine Punkte abzüglich des Ortsvektors deiner Ebenengleichung als Linearkombination deiner Richtungsvektoren darstellbar ist.
Anders ausgedrückt: Schau, ob du für deine Parameter gewisse Werte einsetzen kannst, sodass du zum Schluss den gesuchten Punkt erhälst.
Das machst du am einfachsten über ein Lineares Gleichungssystem.
Mal ein Beispiel anhand einer zweidimensionalen Ebene im dreidimensionalen Raum:
[mm]E = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}[/mm]
Wenn du nun überprüfen willst, ob der Punkt P(2;4;2) in der Ebene liegt, musst du also folgende Gleichung lösen mittels eines Gleichungssystems:
[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\gdw [/mm]
[mm]1 + \alpha + 0 = 2[/mm] und
[mm]0 + 2\alpha + \beta = 4[/mm] und
[mm]0 + 0 + \beta = 2[/mm]
Aus diesen Gleichungen erhälst du dann direkt, dass [mm]\alpha = 1[/mm] und [mm]\beta = 2[/mm]
Wäre dieser Punkt nicht in der Ebene enthalten, so würdest du einen Widerspruch erhalten. Für den Punkt Q(2;5;2) zB würdest du auch aus der ersten und der dritten Zeile die beiden Werte für Alpha und Beta erhalten, aus der zweiten Zeile würde sich mit diesen Ergebnissen allerdings ergeben, dass 2*1 + 2 = 5, was ja offensichtlich nicht stimmt (und somit zur Folge hätte, dass Q nicht in der Ebene liegt).
Kannst du damit was anfangen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Do 12.02.2004 | | Autor: | Alanis |
Hallo Ministel,
vielen Dank, diese Dinge wusste ich schon. Ich habe in einem Mathelexikon nachgeschaut. Darf ich denn einfach einen wert für die Parameter bestimmen, oder kann man den mittels eines Verfahrens berechnen. Trotzdem vielen Dank.
Ich habe im Juni mündliches Abitur und lasse mich in Mathe prüfen. Ich habe also noch viel zu tun.
Trotzdem vielen Dank, vielleicht weißt Du ja eine Antwort auf meine Frage.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 12.02.2004 | | Autor: | Alanis |
Hi, jetzt habe ich verstanden was Du meintest. Habe eben die Mitteilung kurz überflogen. Hast recht, ich muss keine Werte nehmen sondern einfach ein Gleichungssystem bestimmen das in sich stimmig sein sollte. Ich erledige jetzt erst mal die Hausaufgabe. Du hast mir echt weitergeholfen. Vielen vielen Dank, Eva
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