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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Punkte A,B,C und D in einer gemeinsamen Ebene liegen:
A(0/1/-1) B(2/3/5) C(-1/3/-1) D(2/2/2) |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Auch bei dieser Aufgabe ist mir das Vorgehen unbekannt. Ich schätze, dass ich eine Gleichung aufstellen muss.
Ich habe in etwa an folgendes gedacht (kann aber auch vollkommen falsch sein):
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}*\vektor{0 \\ 1 \\ -1}*\vektor{2 \\ 3 \\ 5}*\vektor{-1 \\ 3 \\ -1}*\vektor{2 \\ 2 \\ 2}=0
[/mm]
Anschließend würde ich dann das Gauss-Verfahren durchführen.
Stimmt das? Oder wo sind meine Gedankenfehler? Wie macht man das dann richtig?
Liebe Grüße,
Sarh 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie, ob die Punkte A,B,C und D in einer
> gemeinsamen Ebene liegen:
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> A(0/1/-1) B(2/3/5) C(-1/3/-1) D(2/2/2)
> Hallo Zusammen ,
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> Auch bei dieser Aufgabe ist mir das Vorgehen unbekannt. Ich
> schätze, dass ich eine Gleichung aufstellen muss.
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> Ich habe in etwa an folgendes gedacht (kann aber auch
> vollkommen falsch sein):
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> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}*\vektor{0 \\ 1 \\ -1}*\vektor{2 \\ 3 \\ 5}*\vektor{-1 \\ 3 \\ -1}*\vektor{2 \\ 2 \\ 2}=0[/mm]
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> Anschließend würde ich dann das Gauss-Verfahren
> durchführen.
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> Stimmt das? Oder wo sind meine Gedankenfehler? Wie macht
> man das dann richtig?
das macht doch nun wirklich keinen Sinn. Man erkennt weder, wie Du zu der Gleichung kommst, noch, was bei Dir [mm] $\vektor{0 \\ 1 \\ -1}*\vektor{2 \\ 3 \\ 5}$ [/mm] überhaupt bedeuten soll?!
Stell' Dir vor, Du würdest eine Ebenengleichung aufstellen. Dann hieltest Du bspw. [mm] $\vec{a}=\vektor{0\\1\\-1}$ [/mm] als Aufpunkt fest.
(Zudem sei im folgenden [mm] $\vec{b}=\vektor{2\\3\\5}$, $\vec{c}=\vektor{-1\\3\\-1}$ [/mm] und [mm] $\vec{d}=\vektor{2\\2\\2}$.)
[/mm]
Nun bräuchtest Du noch zwei Richtungsvektoren, die hoffentlich linear unabhängig sind. Dazu könntest Du dann [mm] $\vec{v}:=\vec{b}-\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{w}:=\vec{c}-\vec{a}$ [/mm] berechnen und erhieltest, dass $A,B,C$ in folgender (eindeutig bestimmter) Ebene liegen:
E: [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vec{a}+r*\vec{v}+s*\vec{w}$ [/mm] ($r,s [mm] \in \IR$).
[/mm]
Und dann ist die Frage, ob $D$ in $E$ liegt, also ob es $r,s [mm] \in \IR$ [/mm] so gibt, dass
[mm] $\vektor{2\\2\\2}=\vec{a}+r*\vec{v}+s*\vec{w}$
[/mm]
Das wäre eine Möglichkeit, an die Aufgabe heranzugehen. Dass es nicht die einzige ist, ist schon klar, da man ja hier aus den $4$ gegebenen Punkten erstmal $3$ beliebig auswählt, um damit überhaupt eine Ebenengleichung aufstellen zu können, so dass man für den verbleibenden Punkt dann Testen kann, ob er in $E$ liegt oder nicht.
Eine meines Erachtens geometrisch viel schönere - als eine jede der oben möglichen - Variante, bei der Du aber wenigstens etwas elementargeometrische Kenntnisse haben solltest, um zu wissen, warum das zum Ergebnis führt, ist diese:
Wir wählen wieder einen der obigen Vektoren als fest. Zu diesem bilden wir die 3 Differenzvektoren aus den verbleibenden Punkten und testen diese Differenzvektoren auf lineare Unabhängigkeit:
Also: Halte z.B. [mm] $\vec{b}$ [/mm] mal fest. Dann berechne:
[mm] $\vec{r_1}:=\vec{a}-\vec{b}$,
[/mm]
[mm] $\vec{r_2}:=\vec{c}-\vec{b}$,
[/mm]
[mm] $\vec{r_3}:=\vec{d}-\vec{b}$.
[/mm]
Was schon klar ist:
[mm] $\vec{r_1}$, $\vec{r_2}$ [/mm] sind linear unabhängig (das sieht man sofort, wenn man sie mal ausgerechnet hat).
Was bedeutet das nun, wenn man für [mm] $\vec{r_1}$, $\vec{r_2}$, $\vec{r_3}$
[/mm]
a) zeigen würde, dass sie linear abhängig sind?
b) zeigen würde, dass sie linear unabhängig sind?
(Übrigens:
ftp://ftp.fernuni-hagen.de/pub/fachb/mathe/alggeo/schulte/1011C10.pdf
Bilchen auf Seite 19. Dort heißt der Aufpunkt der Ebene u, der eine Richtungsvektor einfach a und der andere einfach b.)
Und:
Was läßt sich zeigen? Sind diese drei Vektoren nun linear abhängig, oder linear unabhängig?
Gruß,
Marcel
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Leider macht dein Ansatz keinen Sinn. Was würden denn die Ergebnisse bedeuten, die da für x, y und z rauskommen?
Ich gehe bei so einer Aufgabe folgendermaßen vor:
Statt D(2/2/2) schreibe ich D(2/2/a) und rechne aus, wie groß a sein muss, damit die vier Punkte in einer Ebene liegen.
Dazu stellst du folgendes Gleichungssystem auf:
0 + 2s - 1t =2
1 + 2s + 2t = 2
-1 + 6s +0t = a
Die "nackten" Zahlen sind die Punkte A und D ; die Faktoren vor s und t sind jeweils die Differenzen zwischen B bzw. C zu Punkt A
Falls a=2 ist dann liegen die vier Punkte in einer Ebene, ansonsten liegen sie nicht in einer Ebene.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:00 Di 29.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Leider macht dein Ansatz keinen Sinn. Was würden denn die
> Ergebnisse bedeuten, die da für x, y und z rauskommen?
>
> Ich gehe bei so einer Aufgabe folgendermaßen vor:
> Statt D(2/2/2) schreibe ich D(2/2/a) und rechne aus, wie
> groß a sein muss, damit die vier Punkte in einer Ebene
> liegen.
>
> Dazu stellst du folgendes Gleichungssystem auf:
>
> 0 + 2s - 1t =2
> 1 + 2s + 2t = 2
> -1 + 6s +0t = a
>
> Die "nackten" Zahlen sind die Punkte A und D ; die Faktoren
> vor s und t sind jeweils die Differenzen zwischen B bzw. C
> zu Punkt A
>
> Falls a=2 ist dann liegen die vier Punkte in einer Ebene,
> ansonsten liegen sie nicht in einer Ebene.
das ist durchaus auch ein interessanter Ansatz, um 3 Gleichungen mit 3 Variablen zu erhalten. Läßt sich sogar auch geometrisch interpretieren (man nehme die Gerade
g: [mm] $\vec{x}=\vektor{2\\2\\0}+a*\vektor{0\\0\\1}$ [/mm] ($a [mm] \in \IR$) [/mm]
also mit dem Stützvektor [mm] $\vektor{2\\2\\0}$ [/mm] und Richtungsvektor [mm] $\vektor{0\\0\\1}$ [/mm] bzw. m.a.W.:
Die Gerade senkrecht zur [mm] $x_1$-$x_2$-Ebene [/mm] durch $(2/2/0)$
und prüft, wo sie die Ebene, welche durch $A,B,C$ gegeben ist, schneidet).
Nichtsdestotrotz gefällt mir der Ansatz, wo man einfach nur drei "Differenzvektoren" auf lineare Unabhängigkeit prüft, besser, zumal ich den auch geometrisch einleuchtend finde (wobei Deiner, wie gesagt, auch eine geometrische Interpretationsmöglichkeit hat).
Gruß,
Marcel
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