Punkte auf Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Mi 20.08.2008 | | Autor: | sardelka |
| Aufgabe | in einem kartesische Koordinatensystem ist für jedes k [mm] \in [/mm] R eine Ebene [mm] E_{k} [/mm] mit der Gleichung x+(k-2)y+(2k+1)z=5-2k gegeben.
a). Die Gerade g geht durch die Punkte P(0/-4/1) und Q(3/2/-2) und schneidet die Ebene [mm] E_{1} [/mm] in S. (...)
Zeigen Sie, dass P und Q auf verschiedenen Seiten von [mm] E_{1} [/mm] liegen! |
Hallo,
ich möchte diese Aufgabe lösen.
Das mit der Gerade habe ich alles erledigt. Was mir Schwierigkeiten zubereitet ist die letzte Aufgabe.
Wie soll ich zeigen, dass P und Q auf verschiedenen Seiten von [mm] E_{1} [/mm] liegen?
Vielen Dank
MfG
sardelka
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Mi 20.08.2008 | | Autor: | weduwe |
das zeigst du am einfachsten mit der HNF, haben die abstände d(P,E) und d(Q,E) verschiedene vorzeichen, liegen auch P und Q auf verschiedenen seiten der ebene.
da nur gefragt ist, auf welcher seite die punkte liegen, mußt du nicht einmal normieren
[mm]d(P,E) \to 0-4(k-2)+2k+1-5+2k=4[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mi 20.08.2008 | | Autor: | sardelka |
Was ist HNF?
$ d(P,E) [mm] \to [/mm] 0-4(k-2)+2k+1-5+2k=4 $
was zeigt mir diese Gleichung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo sardelka!
> Was ist HNF?
![[]](/images/popup.gif) Hesse'sche Normalform
> [mm]d(P,E) \to 0-4(k-2)+2k+1-5+2k=4[/mm]
>
> was zeigt mir diese Gleichung?
Ermittled nun für beide Punkte den entsprechenden k-Wert (= Parameter der Geradengleichung).
Haben diese beiden Werte unterschiedliche Vorzeichen, liegen die Punkte auf unterschiedlichen Seiten der Ebene.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mi 20.08.2008 | | Autor: | sardelka |
Man berechnet aber nicht auf diese Weise den Abstand, oder?
Man muss doch das Skalarprodukt geteilt durch den Faktor der Längen der Vektoren rechnen, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo,
der Abstand, ist einfach die Länge des Vektors, der beschrieben wird durch den Schnittpkt S und P oder Q
[mm] d(P,S)=\left|\overrightarrow{PS}\right|
[/mm]
Der Betrag eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der einzelnen Komponenten, die quadriert werden
lg
andreas
|
|
|
| |
|
Hallo!
wie können Abstände unterschiedliche Vorzeichen haben, wenn sie doch nichts anderes sind als Beträge von Vektoren?
LG
Andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mi 20.08.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo!
>
> wie können Abstände unterschiedliche Vorzeichen haben, wenn
> sie doch nichts anderes sind als Beträge von Vektoren?
>
> LG
> Andreas
man kann den ORIENTIERTEN abstand eines punktes von einer ebene (oder in R2 von einer geraden) mit hilfe der HNF Hessesche NormalForm) bestimmen
E: 2x+y+2z =5 P(1/2/3)
HNF: [mm] \frac{2x+y+2z-5}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=0
[/mm]
[mm] d(P,E)=\frac{2\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 3-5}{3}=+\frac{5}{3}
[/mm]
[mm] Q(-1/0/0)\to d(Q,E)=-\frac{7}{3}
[/mm]
daher liegen P und Q auf verschiedenen seiten von E.
|
|
|
| |
|
du es tut mir leid! was ist ein "orientierter" Abstand im Vergleich zu dem Abstand, den ich mit den Beträgen errechnen kann?
Danke für die Geduld:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mi 20.08.2008 | | Autor: | weduwe |
> du es tut mir leid! was ist ein "orientierter" Abstand im
> Vergleich zu dem Abstand, den ich mit den Beträgen
> errechnen kann?
>
> Danke für die Geduld:)
ein "orientierter abstand" sagt dir zusätzlich (in R3) auf welcher seite einer ebene ein punkt liegt - es gibt ja ein oben und unten
|
|
|
| |
|
ok super.. ich dacht das wär komplizierter:)
danke sehr
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Mi 20.08.2008 | | Autor: | weduwe |
das zeigst du am einfachsten mit der HNF, haben die abstände d(P,E) und d(Q,E) verschiedene vorzeichen, liegen auch P und Q auf verschiedenen seiten der ebene.
da nur gefragt ist, auf welcher seite die punkte liegen, mußt du nicht einmal normieren
[mm]d(P,E) \to 0-4(k-2)+2k+1-5+2k=4 > 0[/mm]
|
|
|
|
