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| Aufgabe | Gegeben sie die Pyramide mit der Grundfläche bestehend aus den Punkten A=(1,1,1), B(4,3,5), C=(2,2,4), D=(0,yD,3) und der Spitze S=(1,1,20)
a: Geben Sie yD so an, dass A, B, C, D in einer Ebene liegen!
b: in welchem Verhältnis teilt die Ebene E (A, C, S) das Volumen der Pyramide?
c: welches ist das Volumen der Pyramide |
Salü zusammen
zu a: Ich kann mal sicher die Ebene bestimmen, in werlcher die Punkte A, B, C liegen. Doch wie kriege jetzt die Koordinate von yD raus?
zu b: genau kein plan
zu c: müsste mit dem Spatprodukt zu erledigen sein. Wenn ich die Punkte habe, schaff ich das evtl. aleine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Fr 08.02.2008 | | Autor: | weduwe |
beginnen wir mit
a) stelle die ebene auf und setze den punkt D ein, dann bekommst du [mm] y_D
[/mm]
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Argh, die Idee hatte ich eben auch noch. Kam aber nicht das richtige raus :-(
Gut, nochmals nachrechenen....
Folgende Vektoren erhalte ich:
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{4 \\ 3 \\ 5}-\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{3 \\ 2 \\ 4 }
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{2 \\ 2 \\ 4}-\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 3 }
[/mm]
Ebene also
[mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 5} [/mm] +s* [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 4} [/mm] +t* [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3 }
[/mm]
Also
[mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 5} [/mm] +s* [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 4} [/mm] +t* [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ yD \\ 3 }
[/mm]
Somit das gleichungssystem:
4 + 3s + t = 0
3 + 2s + t = yD
5 + 4s + 3t = 3
s = -2
t = 2
yD = 1 --> Stimmt mit Lösungen überein!
Ja, sorry + danke, ist mir irgendwo ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen. Hab vor lauter Bäumen wohl den Wald nicht mehr gesehen...
am hättest du zu b und c auch noch eine Hilfestellung? also vorallem zu b vorerst...
lg Tobi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Du erhälst, wenn du diese Ebene als Begrenzung einsetzt "einen neuen Körper"; berechne das Volumen dieses neuen Körpers und setze es in ein Verhältnis mit der gesamte Pyramide.
Wenn das Stück dann z.B. 5 RE groß ist und die gesamte Pyramide 15 RE hat, teilt die Eben die Pyramide im Verhältnis 1:2.
Lg
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Hm, komme jetzt mit der Volumenberechnung doch nicht weiter.
V = [mm] ¦\overrightarrow{C}*(A [/mm] x B)
C müsste dann die Normale zur Ebene sein...? hm, irgendwie blick ich nicht durch.
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Hallo little_doc,
> Hm, komme jetzt mit der Volumenberechnung doch nicht
> weiter.
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> V = [mm]¦\overrightarrow{C}*(A[/mm] x B)
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> C müsste dann die Normale zur Ebene sein...? hm, irgendwie
> blick ich nicht durch.
[mm]\overrightarrow{A}[/mm] und [mm]\overrightarrow{B}[/mm] sind die Richtungsvektoren der Ebene. Bildet man das Vektorprodukt [mm]\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}[/mm] so erhält man den zugehörigen Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n}[/mm] dieser Ebene.
Der Vektor [mm]\overrightarrow{C}[/mm] ist ein Vektor der nicht in der Ebene liegt.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Fr 08.02.2008 | | Autor: | weduwe |
zunächst b)
du machst aus einer pyramide mit 4eckiger grundfläche zwei mit dreieckiger grundfläche. da beide dieselbe höhe haben, entspricht das verhältnis der volumina dem der beiden grundflächen.
also berechne [mm] A(\Delta{ABC}) [/mm] und [mm] A(\Delta{ACD}), [/mm] am einfachsten geht das jeweils mit dem vektorprodukt.
und c) am einfachsten über das spatprodukt mit den vektoren [mm] \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AS}.
[/mm]
nebenbei [mm] y_D [/mm] = 1 ist richtig.
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Also, fürs spatpruduckt erhalte ich dann 19FE.
Damit's jetzt das Volumen der Pyramide wird, muss ich noch durch 3 oder warens 6? teilen?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Fr 08.02.2008 | | Autor: | weduwe |
> Also, fürs spatpruduckt erhalte ich dann 19FE.
> Damit's jetzt das Volumen der Pyramide wird, muss ich noch
> durch 3 oder warens 6? teilen?
>
> lg
da es eine 4eckige pyramide ist, teile durch 3
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Hallo little_doc,
> Also, fürs spatpruduckt erhalte ich dann 19FE.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Damit's jetzt das Volumen der Pyramide wird, muss ich noch
> durch 3 oder warens 6? teilen?
Laut Pyramide muß noch durch 3 geteilt werden.
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Fr 08.02.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo little_doc,
>
> > Also, fürs spatpruduckt erhalte ich dann 19FE.
>
>
>
> > Damit's jetzt das Volumen der Pyramide wird, muss ich noch
> > durch 3 oder warens 6? teilen?
>
> Laut Pyramide muß
> noch durch 3 geteilt werden.
>
> >
> > lg
>
> Gruß
> MathePower
wenn die grundfläche ein dreieck ist, muß man das spatprodukt durch 6 teilen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Fr 08.02.2008 | | Autor: | little_doc |
Supi.
Vielen Dank für deine Hilfe 
lg Tobi
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