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Forum "Schul-Analysis" - Punkt im Dreieck und Hoehe
Punkt im Dreieck und Hoehe < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Punkt im Dreieck und Hoehe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 Mi 21.12.2005
Autor: Mr._Calculus

Aufgabe
P sei ein Punkt innerhalb eines beliebigen Dreiecks. l und k seien die Laengen der laengsten und kuerzesten Hoehe im Dreiceck. Vom Punkt P faelle Lote zu den drei Seiten des Dreiecks a, b, c (Strecken overline{PX} , [mm] \overline{PY} [/mm] , [mm] \overline{PZ} [/mm] ).
Beweise, dass k [mm] \le [/mm] overline{PX} + [mm] \overline{PY} [/mm] + [mm] \overline{PZ} \ge [/mm] l und dass diese ungleichheit immer gilt, ausser wenn das Dreieck gleichseitig ist.

Hallo,
eine Frage, die ich mir schon laenger stelle, seitdem ich es mal irgendwo gehoert habe, aber nie herausbekommen habe. Den einzigen Ansatz den ich hier geben kann ist in 3 speziellen Faellen:
Wenn der Punkt P exact auf einem anderen Punkt liegt (A, B oder C), dann ist overline{PX} = der hoehe der Seite und somit gibt es die Faelle k = overline{PX} + [mm] \overline{PY} [/mm] + [mm] \overline{PZ} [/mm]
und
overline{PX} + [mm] \overline{PY} [/mm] + [mm] \overline{PZ} [/mm] = l

Waere sehr dankbar wenn mir hier einer helfen kann

Gruss und schoene Feiertage

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Punkt im Dreieck und Hoehe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:30 Mi 21.12.2005
Autor: Mr._Calculus

Korrektur:
in der aufgabenstellung muss es natuerlich heissen

k  [mm] \le [/mm] 3Strecken [mm] \le [/mm] l
aus versehen falschen Zeichen verwendet, sry.
@webmaster: konnte leider nicht die Korrekturfunktion nutzen ->Fehler

Bezug
        
Bezug
Punkt im Dreieck und Hoehe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Mi 21.12.2005
Autor: Leopold_Gast

Vernehme ich das Wort "Höhe", so rufe ich immer sofort "Flächeninhalt". In 63,8 % aller Fälle funktioniert es dann auch damit. Zum Beispiel hier.

Es seien [mm]p_a, p_b, p_c[/mm] die Abstände von [mm]P[/mm] zu den Seiten [mm]a,b,c[/mm] des Dreiecks. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei [mm]h_a[/mm] die kürzeste und [mm]h_b[/mm] die längste Höhe. Zu zeigen ist dann:

[mm]h_a \leq p_a + p_b + p_c \leq h_b[/mm]

Zeichne von [mm]P[/mm] zu den Punkten [mm]A,B,C[/mm] des Dreiecks Strecken. Dadurch zerfällt das Dreieck in drei Teile, deren Flächensumme den Gesamtinhalt von [mm]ABC[/mm] ergibt. Wenn also [mm]\Delta[/mm] der doppelte Flächeninhalt von [mm]ABC[/mm] ist, gilt:

[mm]a p_a + b p_b + c p_c \ = \ \Delta[/mm]

[mm]\frac{a}{\Delta} \, p_a + \frac{b}{\Delta} \, p_b + \frac{c}{\Delta} \, p_c \ = \ 1[/mm]

Und jetzt multipliziere diese Gleichung einmal mit [mm]h_a[/mm] und ein anderes Mal mit [mm]h_b[/mm] und schätze die linke Seite ab. Beachte: [mm]a h_a = b h_b = c h_c = \Delta[/mm].

Bezug
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